Ostrosłup prawidłowy trójkątny, pole przekroju

Sześciany. Wielościany. Kule. Inne bryły. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa w przestrzeni.
stomreo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 19 sty 2022, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
wiek: 19

Ostrosłup prawidłowy trójkątny, pole przekroju

Post autor: stomreo »

Hej, takie zadanko:
Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny, w którym długość krawędzi podstawy jest równa "a" i krawędź boczna jest od niej sześć razy dłuższa. Ostrosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy i środek przeciwległej krawędzi bocznej. Oblicz pole otrzymanego przekroju.
piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23493
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3263 razy

Re: Ostrosłup prawidłowy trójkątny, pole przekroju

Post autor: piasek101 »

Coś z tym robiłeś ? Pokaż - sprawdzimy.
stomreo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 19 sty 2022, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
wiek: 19

Re: Ostrosłup prawidłowy trójkątny, pole przekroju

Post autor: stomreo »

piasek101 pisze: 7 kwie 2022, o 21:36 Coś z tym robiłeś ? Pokaż - sprawdzimy.
A tam, poddałem się szczerze. Nie jestem w stanie nic wykminić, próbowałem wiele razy.
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: Ostrosłup prawidłowy trójkątny, pole przekroju

Post autor: kerajs »

Spodek wysokości ostrosłupa, oraz rzut prostopadły punktu ''środka przeciwległej krawędzi bocznej'' na płaszczyznę podstawy dzielą wysokość podstawy na trzy równe części.
piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23493
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3263 razy

Re: Ostrosłup prawidłowy trójkątny, pole przekroju

Post autor: piasek101 »

Wyznaczasz, z Pitagorasa, wysokość ściany bocznej (w zależności od długości krawędzi podstawy).
Kroisz ostrosłup przez : wysokość ściany bocznej, wysokość podstawy, krawędź boczną (są to też boki trójkąta *).
Środkowa trójkąta * poprowadzona do krawędzi bocznej to wysokość szukanego przekroju - potrzebna do wyznaczenia jego pola.

Może tyle wystarczy.
stomreo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 19 sty 2022, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
wiek: 19

Re: Ostrosłup prawidłowy trójkątny, pole przekroju

Post autor: stomreo »

piasek101 pisze: 9 kwie 2022, o 21:02 Wyznaczasz, z Pitagorasa, wysokość ściany bocznej (w zależności od długości krawędzi podstawy).
Kroisz ostrosłup przez : wysokość ściany bocznej, wysokość podstawy, krawędź boczną (są to też boki trójkąta *).
Środkowa trójkąta * poprowadzona do krawędzi bocznej to wysokość szukanego przekroju - potrzebna do wyznaczenia jego pola.

Może tyle wystarczy.
Nie wiem, na ile dobre są moje obliczenia, ale wyszło mi \(\displaystyle{ \frac{3 \sqrt{107} }{2} a^{2} }\). Jeśli miałbyś chwilę, to byłbym wdzięczny.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Ostrosłup prawidłowy trójkątny, pole przekroju

Post autor: Jan Kraszewski »

Myślę, że lepiej byłoby, gdybyś przedstawił więcej niż sam wynik.

JK
stomreo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 19 sty 2022, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
wiek: 19

Re: Ostrosłup prawidłowy trójkątny, pole przekroju

Post autor: stomreo »

Wysokość ściany bocznej z Pitagorasa wychodzi \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{143} }{2}a }\). Następnie jako iż środkowa dzieli bok na równe części, to policzyłem wysokość trójkąta (tego przekroju), która wyszła \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{107} }{2}a }\). I z tego pole przekroju, czyli \(\displaystyle{ \frac{1}{2} \cdot 6a \cdot \frac{ \sqrt{107} }{2}a = \frac{3 \sqrt{107} }{2} a^{2} }\), gdzie \(\displaystyle{ 6a}\) to długość krawędzi bocznej ostrosłupa.
Ostatnio zmieniony 10 kwie 2022, o 14:06 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.
piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23493
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3263 razy

Re: Ostrosłup prawidłowy trójkątny, pole przekroju

Post autor: piasek101 »

Jeszcze nie robiłem - ale wg mnie liczysz pole nie tego co trzeba, bo żaden bok szukanego nie ma \(\displaystyle{ 6a}\).

Dodano po 10 minutach 47 sekundach:
Już mam (też mogłem się pomylić) - szukane pole to \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{37}}{4} a^2}\)
stomreo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 19 sty 2022, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
wiek: 19

Re: Ostrosłup prawidłowy trójkątny, pole przekroju

Post autor: stomreo »

Policzyłem na nowo, tym razem wyszło \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{39} }{4} a^{2} }\), więc już nieco bliżej twojego wyniku. Jeśli do policzenia wysokości zamiast \(\displaystyle{ \frac{a \sqrt{3} }{2} }\) użyłbym \(\displaystyle{ \frac{1}{2}a }\), to wynik byłby taki jak Twój, czyli \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{37} }{4} a^{2} }\).
piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23493
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3263 razy

Re: Ostrosłup prawidłowy trójkątny, pole przekroju

Post autor: piasek101 »

stomreo pisze: 11 kwie 2022, o 09:30 Jeśli do policzenia wysokości zamiast \(\displaystyle{ \frac{a \sqrt{3} }{2} }\) użyłbym \(\displaystyle{ \frac{1}{2}a }\), to wynik byłby taki jak Twój, czyli \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{37} }{4} a^{2} }\).
Nie określiłeś o jaką wysokość Ci chodzi - a ta nie może być taka albo taka. Zatem ktoś się pomylił.

Mam.
Wysokość ściany bocznej (taka jak Twoja) \(\displaystyle{ 0,5\sqrt{143}a}\).

Potem środkowa trójkąta \(\displaystyle{ 0,5\sqrt{143}a}\); \(\displaystyle{ 0,5\sqrt 3 a}\); \(\displaystyle{ 6a}\) (o jakim pisałem) poprowadzona na bok \(\displaystyle{ 6a}\) to : \(\displaystyle{ 0,5\sqrt{37}a}\) (i tu ewentualnie można szukać błędu - nie mam czasu sprawdzać). Jest ona wysokością szukanego przekroju poprowadzoną do boku \(\displaystyle{ a}\).

Ostatecznie \(\displaystyle{ P=0,5\cdot a \cdot 0,5\sqrt{37} a}\).
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: Ostrosłup prawidłowy trójkątny, pole przekroju

Post autor: kerajs »

W trójkącie zawierającym szukaną wysokość (x) połowę krawędzi bocznej i wysokość podstawy zachodzi:
\(\displaystyle{ h^2=(3a)^2-( \frac{1}{3} \cdot \frac{a \sqrt{3} }{2})^2= (x)^2-( \frac{2}{3} \cdot \frac{a \sqrt{3} }{2})^2 \\
9a^2- \frac{a^2}{12}=x^2 -\frac{a^2}{3}\\
x= \frac{a \sqrt{37} }{2} }\)

Pole przekroju :
\(\displaystyle{ P= \frac{1}{2}ax= \frac{a^2 \sqrt{37} }{4} }\)
ODPOWIEDZ