Okręgi na sferze

[mol_ksiazkowy]

Udowodnić, że jeśli dwa niewspółpłaszczyznowe okręgi mają dokładnie dwa punkty wspólne lub są styczne, to są współsferyczne.

[JHN]

Wg mnie skuteczny byłby pomysł:

...jeśli dwa niewspółpłaszczyznowe okręgi mają dokładnie dwa punkty wspólne ...

to płaszczyzna symetrii wspólnej cięciwy przecina dane okręgi w czterech punktach - wierzchołkach pewnego czworościanu. Sfera opisana na nim zawiera te okręgi

... jeśli dwa niewspółpłaszczyznowe okręgi [...] są styczne, ...

to płaszczyzna przechodząca przez punkt wspólny i środki danych okręgów przecina je w trzech punktach - wierzchołkach pewnego trójkąta. Okrąg opisany na nim jest okręgiem wielkim szukanej sfery

Pozdrawiam

[3a174ad9764fefcb]

to płaszczyzna symetrii wspólnej cięciwy przecina dane okręgi w czterech punktach - wierzchołkach pewnego czworościanu.

Jeśli płaszczyzna, to nie czworościan, tylko czworokąt. Potrzebne tu jest jeszcze uzasadnienie, że da się opisać okrąg na tym czworokącie.

Dodano po 2 dniach 1 godzinie 33 minutach 39 sekundach:
Żeby nie było, że tylko krytykuję, to wtrącę swoje dwa grosze na temat przypadku z dwoma punktami wspólnymi. Jeśli weźmiemy cztery punkty: dwa punkty wspólne okręgów (\(\displaystyle{ P_1}\) i \(\displaystyle{ P_2}\)), jeden inny punkt z jednego z okręgów (\(\displaystyle{ P_3}\)) i jeden inny punkt z drugiego z okręgów (\(\displaystyle{ P_4}\)), to te cztery punkty nie leżą na jednej płaszczyźnie. Twierdzę, że sfera opisana na tych czterech punktach zawiera oba okręgi. Bowiem punkty \(\displaystyle{ P_1,P_2,P_3}\) wyznaczają jednoznacznie pewien okrąg, a z jednoznaczności wiemy że jest to ten sam okrąg, co

• część wspólna płaszczyzny \(\displaystyle{ P_1P_2P_3}\) i sfery,
• okrąg, o którym mowa w zadaniu.

Tak samo punkty \(\displaystyle{ P_1,P_2,P_4}\) wyznaczają jednoznacznie drugi okrąg.