Błąd w poleceniu? Optymalizacja z Operonu

Sześciany. Wielościany. Kule. Inne bryły. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa w przestrzeni.
Jmoriarty
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 273
Rejestracja: 1 mar 2017, o 23:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 80 razy
Pomógł: 1 raz

Błąd w poleceniu? Optymalizacja z Operonu

Post autor: Jmoriarty » 5 maja 2021, o 01:13

Oto zadanko z próbnej matury rozszerzonej z Operonu 2021.
Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe sześciokątne o polu powierzchni całkowitej \(\displaystyle{ Pc=432 \sqrt{3} }\). Wyznacz długości krawędzi tego z rozważanych graniastosłupów, którego objętość jest najmniejsza.
Wydaje mi się, że powinna być do wyznaczenia objętość największa, a nie najmniejsza. Wrzucam swoje obliczenia:
\(\displaystyle{ V=P _{p} \cdot H}\)
\(\displaystyle{ P _{p} = 6 \cdot \frac{a ^{2} \sqrt{3} }{4} = \frac{3a ^{2} \sqrt{3} }{2} }\)
\(\displaystyle{ H= \frac{144 \sqrt{3}-a ^{2} \sqrt{3} }{2a} }\)
\(\displaystyle{ V= \frac{9}{4} \left( 144a-a ^{3} \right) }\)
Tworzę funkcję objętości zależną od \(\displaystyle{ a}\):
\(\displaystyle{ V(a)=144a-a ^{3} }\) ; \(\displaystyle{ D=\left( 0;12\right) }\)
Liczę pochodną, aby sprawdzić monotoniczność funkcji \(\displaystyle{ V(a)}\):
\(\displaystyle{ V'(a)=144-3a ^{2} }\)
I wychodzi, że w naszej dziedzinie, czyli od zera do dwunastu, funkcja rośnie od zera do \(\displaystyle{ 4 \sqrt{3} }\), a potem już maleje, by przy końcu dziedziny, czyli przy \(\displaystyle{ a=12}\), zrównać się z zerem. Także w tej dziedzinie można wyznaczyć jedynie maksimum tej funkcji, ale nie minimum. Chyba, że coś z dziedziną pomieszałem, ale to w sumie niemożliwe, bo widziałem wykres tej funkcji. Musiałbym źle całą funkcję wyliczyć, w co wątpię, bo nie tylko ja to liczyłem.
Bardzo proszę o pomoc!
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Dilectus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2619
Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 366 razy

Re: Błąd w poleceniu? Optymalizacja z Operonu

Post autor: Dilectus » 5 maja 2021, o 11:07

Oczywiście chodzi o największą objętość, bo najmniejsza - zerowa - jest przy zerowej wysokości graniastosłupa. :)

ODPOWIEDZ