Punkty \(\displaystyle{ K, L, M}\) są środkami krawędzi \(\displaystyle{ AB, BC, BB_1}\) sześcianu\(\displaystyle{ ABCDA_1B_1C_1D_1}\).
a) Jaką części objętości sześcianu stanowi objętość ostrosłupa \(\displaystyle{ KLMB}\)?
b) Wiedząc dodatkowo, że odległość wierzchołka \(\displaystyle{ B}\) od płaszczyzny \(\displaystyle{ KLM}\) jest równa \(\displaystyle{ \sqrt{3} }\), oblicz długość krawędzi sześcianu.
W odpowiedziach a) \(\displaystyle{ \frac{1}{24} }\), b) \(\displaystyle{ 3}\). Mnie wychodzi a) \(\displaystyle{ \frac{1}{48} }\), b) \(\displaystyle{ 6}\).
Ostrosłup wycięty z sześcianu
-
- Użytkownik
- Posty: 188
- Rejestracja: 23 lis 2014, o 16:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kielce
- Podziękował: 90 razy
Re: Ostrosłup wycięty z sześcianu
\(\displaystyle{ a}\) - długość krawędzi sześcianu
\(\displaystyle{ a^3}\) - objętość sześcianu
Objętość ostrosłupa: \(\displaystyle{ V=\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{a}{2}\right)^3 = \frac{a^3}{48}}\)
Stąd w a) \(\displaystyle{ \frac{1}{48}}\).
b) Objętość ostrosłupa: \(\displaystyle{ V= \frac{1}{3} \cdot P_{KLM} \cdot \sqrt{3}}\)
Trójkąt \(\displaystyle{ KLM}\) to trójkąt równoboczny o boku długości \(\displaystyle{ \frac{a\sqrt{2}}{2}}\), więc \(\displaystyle{ P_{KLM}=\frac{a^2\sqrt{3}}{8}}\). Zatem \(\displaystyle{ V=\frac{a^2}{8}}\).
Porównuję z obliczeniami z podpunktu a: \(\displaystyle{ \frac{a^3}{48}=\frac{a^2}{8}}\) i stąd \(\displaystyle{ a=6}\).
\(\displaystyle{ a^3}\) - objętość sześcianu
Objętość ostrosłupa: \(\displaystyle{ V=\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{a}{2}\right)^3 = \frac{a^3}{48}}\)
Stąd w a) \(\displaystyle{ \frac{1}{48}}\).
b) Objętość ostrosłupa: \(\displaystyle{ V= \frac{1}{3} \cdot P_{KLM} \cdot \sqrt{3}}\)
Trójkąt \(\displaystyle{ KLM}\) to trójkąt równoboczny o boku długości \(\displaystyle{ \frac{a\sqrt{2}}{2}}\), więc \(\displaystyle{ P_{KLM}=\frac{a^2\sqrt{3}}{8}}\). Zatem \(\displaystyle{ V=\frac{a^2}{8}}\).
Porównuję z obliczeniami z podpunktu a: \(\displaystyle{ \frac{a^3}{48}=\frac{a^2}{8}}\) i stąd \(\displaystyle{ a=6}\).