Kąt trójścienny czworościanu nazywamy rozległym, gdy suma jego kątów płaskich jest większa od \(\displaystyle{ 270^o}\). Czy istnieje czworościan o dwóch rozległych kątach trójściennych ?
Rysuję dowolny czworokąt wypukły \(\displaystyle{ ABCD}\) w którym kąty \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ D}\) są większe od \(\displaystyle{ 135^\circ}\) (przykładowo niech mają po \(\displaystyle{ 150^\circ}\)). Układ trójkątów: \(\displaystyle{ ABC, ADC, ABD \ i \ CBD }\) tworzy czworościan zdegenerowany do pokrywających się trójkątów, lecz kąty trójścienne \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ D}\) przekraczają \(\displaystyle{ 270^\circ}\)( \(\displaystyle{ 300^\circ}\) ), Rzeczywisty czworościan dostaję z trójkątów \(\displaystyle{ ABC, ADC, AB'D' \ i \ CB'D'}\) gdzie \(\displaystyle{ \left|AB' \right| =\left|AB \right| \ , \ \left|CB' \right| =\left|CB \right| \ , \ \left|AD' \right| =\left|AD \right| \ , \ \left|CD' \right| =\left|CD \right|}\) , a \(\displaystyle{ \left|B'D'\right|}\) jest nieznacznie mniejszy od\(\displaystyle{ \left|BD \right|}\). To nieznaczne zmniejszenie odcinka \(\displaystyle{ BD}\) do \(\displaystyle{ B"D'}\) nieznacznie zmniejsza kąty dwuścienne \(\displaystyle{ B'}\) i \(\displaystyle{ D'}\) jednak nadal mogą one być ''rozległymi''.
