Podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoramienny o długości ramienia równej \(\displaystyle{ t}\) oraz kącie między ramionami \(\displaystyle{ 2\alpha}\). Każda krawędź boczna ostrosłupa tworzy z jego wysokością kąt \(\displaystyle{ \beta}\). Obliczyć objętość ostrosłupa.
Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania:
Oznaczmy wierzchołki podstawy \(\displaystyle{ ABC}\), \(\displaystyle{ C}\)-wierzchołek przy kącie \(\displaystyle{ 2\alpha}\) oraz \(\displaystyle{ D}\)-górny wierzchołek ostrosłupa oraz \(\displaystyle{ S}\)-spodek wysokości ostrosłupa. Zauważmy, że trójkąty \(\displaystyle{ ASD,BSD,CSD}\) są przystające z cechy kbk, a zatem odległość punktu \(\displaystyle{ S}\) od wierzchołków podstawy \(\displaystyle{ A,B,C}\) jest jednakowa, oznaczmy ją przez \(\displaystyle{ x}\). Trójkąty \(\displaystyle{ ASC}\) i \(\displaystyle{ BSC}\) są przystające z cechy bbb i są równoramienne, zatem z tego łatwo wychodzi, że miara kąta \(\displaystyle{ BSC}\) jest równa \(\displaystyle{ 180-2\alpha}\). Z twierdzenia sinusów dla trójkąta \(\displaystyle{ BSC}\) dostajemy, że \(\displaystyle{ \frac{t}{\sin (180-2\alpha)}= \frac{x}{\sin \alpha} }\). Po przekształceniu \(\displaystyle{ x= \frac{t}{2\cos \alpha} }\). Niech \(\displaystyle{ H}\) wysokość ostrosłupa. W trójkącie \(\displaystyle{ BSD}\) mamy, że \(\displaystyle{ \tg \beta = \frac{ \frac{t}{2\cos \alpha} }{H} }\), zatem \(\displaystyle{ H= \frac{t}{2\cos \alpha \tg \beta} }\). Ostatecznie objętość ostrosłupa: \(\displaystyle{ V= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}t^2 \sin 2\alpha \cdot \frac{t}{2 \cos \alpha \tg \beta}= \frac{t^3\sin \alpha}{6\tg \beta} }\)
Czy tak jest dobrze?