Dany jest sześcian

Sześciany. Wielościany. Kule. Inne bryły. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa w przestrzeni.
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3388
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 975 razy
Pomógł: 3 razy

Dany jest sześcian

Post autor: max123321 »

Dany jest sześcian o podstawach \(\displaystyle{ ABCD}\) i \(\displaystyle{ PQRS}\). Punkty \(\displaystyle{ K,L,M}\) są środkami odpowiednio krawędzi \(\displaystyle{ BQ,QR,RS}\). Wyznaczyć rozwartość kąta \(\displaystyle{ KLM}\).

No to tutaj policzyłem z tw. Pitagorasa długości tych trzech boków trójkąta \(\displaystyle{ KLM}\) i wyszło mi, że ten kąt jest równy \(\displaystyle{ 120}\) stopni, ale użyłem do tego twierdzenia cosinusów. Moje pytanie jest jak zrobić to zadanie metodami geometrii klasycznej, najlepiej nie używając zbytnio trygonometrii. Może ktoś pomóc?
pkrwczn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 164
Rejestracja: 27 paź 2015, o 23:44
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 30 razy

Re: Dany jest sześcian

Post autor: pkrwczn »

Wiesz już z Pitagorasa, że boki w trójkącie \(\displaystyle{ KLM}\) są w relacji \(\displaystyle{ 1 :1: \sqrt{3} }\).

Rozważmy trójkąt równoboczny:


Długość boku wynosi \(\displaystyle{ a}\), długość wysokości wynosi \(\displaystyle{ h=\frac{ \sqrt{3} }{2}a }\), odległość od wierzchołka do środka (tam, gdzie przecinają się wysokości) wynosi \(\displaystyle{ \frac{2}{3}h = \frac{a}{ \sqrt{3} } }\), czyli boki w trójkącie rozwartokątnym są w relacji

\(\displaystyle{ a:\frac{a}{ \sqrt{3} }:\frac{a}{ \sqrt{3} }}\)
\(\displaystyle{ 1:\frac{1}{ \sqrt{3} }:\frac{1}{ \sqrt{3} }}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{3}:1:1}\)

Więc są podobne i kąty mają takie same, więc kąt \(\displaystyle{ KLM}\) też ma \(\displaystyle{ 120^{\circ}}\).
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3388
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 975 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Dany jest sześcian

Post autor: max123321 »

Tak, ale myślę, że można to zadanie zrobić nawet prościej. Jak dorysujemy w tym sześcianie pozostałe odcinki łączące środki krawędzi sześcianu to dostaniemy sześciokąt jak tutaj:
Trzeba tylko uzasadnić, że jest on foremny, boki są oczywiście równe, a kąty też muszą być takie same bo wszystkie kąty w tym sześciokącie są pomiędzy odcinkami łączącymi środki prostopadłych krawędzi. A sześciokąt foremny jak wiadomo ma kąt wewnętrzny równy 120 stopni.
ODPOWIEDZ