Podstawa ostrosłupa ABCD

Sześciany. Wielościany. Kule. Inne bryły. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa w przestrzeni.
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3388
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 975 razy
Pomógł: 3 razy

Podstawa ostrosłupa ABCD

Post autor: max123321 »

Podstawą ostrosłupa \(\displaystyle{ ABCD}\) jest trójkąt prostokątny \(\displaystyle{ BCD}\) o kącie prostym przy wierzchołku \(\displaystyle{ D}\). Punkt \(\displaystyle{ B}\) jest spodkiem wysokości tego ostrosłupa. Dane są \(\displaystyle{ BD=p, CD=q, AB=s}\). Obliczyć długość promienia sfery wpisanej w ten ostrosłup.

Jak to zrobić? Nie wiem zbytnio jak uchwycić te punkty styczności.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Podstawa ostrosłupa ABCD

Post autor: a4karo »

Umieść `B` w początku układu współrzędnych. Osie układu pokrywaja się z krawędziami ostrosłupa. Środek kuli leży na prostej `x=y=z` a kula jest styczna do `ACD`
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: Podstawa ostrosłupa ABCD

Post autor: kerajs »

Albo od razu: \(\displaystyle{ r= \frac{2V}{S} }\)
piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23493
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3263 razy

Re: Podstawa ostrosłupa ABCD

Post autor: piasek101 »

kerajs pisze: 21 sty 2021, o 09:40 Albo od razu: \(\displaystyle{ r= \frac{2V}{S} }\)
Chyba trzy zamiast dwa.
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: Podstawa ostrosłupa ABCD

Post autor: kerajs »

piasek101 pisze: 21 sty 2021, o 10:49
kerajs pisze: 21 sty 2021, o 09:40 Albo od razu: \(\displaystyle{ r= \frac{2V}{S} }\)
Chyba trzy zamiast dwa.
Słusznie. Miał być: \(\displaystyle{ r= \frac{3V}{S} }\)
W ramach pokuty podam oczywistość, że z tw. Pitagorasa należy wyliczyć pozostałe krawędzie, a z wzoru Herona pole jedynego nieprostokątnego trójkąta.
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3388
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 975 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Podstawa ostrosłupa ABCD

Post autor: max123321 »

Nie no, muszę zrobić to zadanie metodami syntetycznymi, a nie analitycznymi. Nie wiem też skąd wzór \(\displaystyle{ r= \frac{3V}{S}}\). Dlatego proszę jeszcze o pomoc pod tym kątem.
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: Podstawa ostrosłupa ABCD

Post autor: kerajs »

max123321 pisze: 21 sty 2021, o 23:41 Nie wiem też skąd wzór \(\displaystyle{ r= \frac{3V}{S}}\).
Jeśli w bryłę o \(\displaystyle{ n}\) ścianach (posiadających pola \(\displaystyle{ S_1, S_2, ..., S_n)}\) moża wpisać sferę o promieniu \(\displaystyle{ r}\), to bryłę tę można podzielić na \(\displaystyle{ n}\) ostrosłupów o podstawach będących ścianami bryły i wysokościach \(\displaystyle{ r}\).
\(\displaystyle{ V= \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{3}S_i r= \frac{r}{3} \sum_{i=1}^{n} S_i = \frac{1}{3}Sr\\
r= \frac{3V}{S} }\)


max123321 pisze: 21 sty 2021, o 23:41 Nie no, muszę zrobić to zadanie metodami syntetycznymi, a nie analitycznymi.
Jakoś nie widzę takiej informacji w treści tematu.
Może wypisz metody którymi masz rozwiązać to zadanie.
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3388
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 975 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Podstawa ostrosłupa ABCD

Post autor: max123321 »

Aha no dobra to podzielenie bryły na ostrosłupy to faktycznie można uznać za metodę syntetyczną. No to w takim razie wyszło mi, że:
\(\displaystyle{ r= \frac{2pqs}{ps+pq+ \sqrt{p^2+q^2}s+ \sqrt{p^2+s^2}q } }\)

Może ktoś potwierdzić czy to dobry wynik?
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Podstawa ostrosłupa ABCD

Post autor: a4karo »

Nie ma co sprawdzać. Jest niepoprawny, bo nie jest symetryczny że względu na wszystkie zmienne
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3388
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 975 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Podstawa ostrosłupa ABCD

Post autor: max123321 »

A dlaczego ma być symetryczny? Przecież to nie jest czworościan foremny.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Podstawa ostrosłupa ABCD

Post autor: a4karo »

Ale wynik nie zależy od kolejności boków.
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3388
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 975 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Podstawa ostrosłupa ABCD

Post autor: max123321 »

Nie wiem o co Ci chodzi. Napisz jaśniej.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Podstawa ostrosłupa ABCD

Post autor: a4karo »

Promień kuli wpisanej nie zmieni się gdy zamienisz dowolnie rolami `p, q, s`, więc wzór musi być symetryczny że względu na te zmienne
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3388
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 975 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Podstawa ostrosłupa ABCD

Post autor: max123321 »

No jak się nie zmieni. Zmieni się. W tym zadaniu nie ma symetrii. \(\displaystyle{ s}\) jest przyprostokątną dwóch trójkątów, \(\displaystyle{ p}\) też dwóch trójkątów, a \(\displaystyle{ q}\) tylko jednego trójkąta, więc nie ma powodu, żeby odpowiedź była symetryczna.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Podstawa ostrosłupa ABCD

Post autor: a4karo »

Przepraszam
Wydawało mi się, że `D` jest spodkiem wysokości.
Wydaje mi się, że W Twoim wzorze nie powinno być dwójki w mianowniku (`V=\frac{pqs} {6}`)
ODPOWIEDZ