Podstawami sześcianu o krawędzi 1

[max123321]

Podstawami sześcianu o krawędzi 1 są kwadraty \(\displaystyle{ ABCD}\) i \(\displaystyle{ PQRS}\), a jego krawędzie boczne
to \(\displaystyle{ AP, BQ, CR, DS}\). Wyznaczyć odległość między prostymi \(\displaystyle{ BP}\) i \(\displaystyle{ CQ}\).

Może mi ktoś pomóc jak to zrobić? Zacząłem coś rysować i liczyć i wyszło mi, że \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{6} }{4} }\), ale nie jestem tego pewny, chciałbym zobaczyć jak tego typu zadania się powinno robić.

[a4karo]

Umieść sześcian w układzie współrzędnych, napisz równania parametryczne obu prostych, znajdź minimum funkcji dwóch zmiennych.

[max123321]

Nie no nie mogę tak zrobić. Muszę rozwiązać to zadanie metodami syntetycznymi, a nie analitycznymi. Dlatego proszę jeszcze o pomoc.

[JHN]

Zauważ, że \(\displaystyle{ BP}\) i \(\displaystyle{ CQ}\) zawarte są, odpowiednio, w płaszczyznach \(\displaystyle{ PBD}\) i \(\displaystyle{ CQS}\), które są równoległe. Pozostaje policzyć odległość pomiędzy nimi...

Odpowiedź:    

\(\displaystyle{ \sqrt3-2\cdot{\sqrt3\over3}={\sqrt3\over3}}\)

Pozdrawiam

[max123321]

A dlaczego płaszczyzny \(\displaystyle{ PBD}\) i \(\displaystyle{ CQS}\) są równoległe? Jak to uzasadnić?

A nawet zakładając tą równoległość, to jak wyznaczyć odległość między tymi płaszczyznami?

[JHN]

Zrób schludny rysunek i- zauważysz pary odcinków równoległych... Płaszczyzny te są prostopadłe do przekątnej sześcianu i tną ją na odcinki: dwa są wysokościami pewnych ostrosłupów, jeden - szukanym odcinkiem odległości.

Pozdrawiam

[max123321]

Dobra narysować to ja sobie umiem, ale ja pytam o dokładne uzasadnienie dlaczego te płaszczyzny są równoległe. Jak to uzasadniasz? Albo może inaczej, jaki jest warunek wystarczający, aby płaszczyzny były równoległe?

[janusz47]

Odcinki \(\displaystyle{ \overline{BP}, \ \ \overline{QC} }\) wyznaczone przez proste leżą w dwóch płaszczyznach prostopadłych ścian bocznych sześcianu o krawędzi długości \(\displaystyle{ 1. }\)(rysunek).

Odległość między nimi \(\displaystyle{ d }\) jest równa długości rzutów \(\displaystyle{ |\overline{PQ}| = 1 = |\overline{BC}|}\) czyli długości krawędzi sześcianu.

[JHN]

Spróbuję inaczej.

Dobra narysować to ja sobie umiem, ...

To narysuj, albo zorganizuj sobie szkielet sześcianu, i:
niech \(\displaystyle{ M}\) będzie środkiem ciężkości sześcianu. Znajdź obraz \(\displaystyle{ \Delta PBD}\) w symetrii środkowe względem punktu \(\displaystyle{ M}\) i znajdź związek z zadanymi przez Ciebie pytaniami...

Odległość między nimi \(\displaystyle{ d }\) jest równa długości rzutów \(\displaystyle{ |\overline{PQ}| = 1 = |\overline{BC}|}\) czyli długości krawędzi sześcianu.

Jestem pod wrażeniem Waszej wyobraźni...

Pozdrawiam

[max123321]

niech \(\displaystyle{ M}\) będzie środkiem ciężkości sześcianu. Znajdź obraz \(\displaystyle{ \Delta PBD}\) w symetrii środkowe względem punktu \(\displaystyle{ M}\).

No jest to jakieś uzasadnienie, ale z tego co wiem to się robiło dużo prościej, był jakiś warunek na równoległość płaszczyzn o ile się mylę, że jakieś proste musiały być równoległe czy coś, ale nie mogę znaleźć nigdzie, jak to szło?

Jestem pod wrażeniem Waszej wyobraźni...

Janusz pozostanie Januszem, mnie w to nie mieszaj...

[JHN]

...ale nie mogę znaleźć nigdzie, jak to szło?

Nie wiem, o czym myślisz...

Przyszedł mi do głowy jeszcze jeden, już ostatni, pomysł, aby Cię przekonać do słuszności mojego rozwiązania:
Jedna z osi obrotów własnych sześcianu zawiera jego przekątną \(\displaystyle{ \overline{AR}}\) ! \(\displaystyle{ \overline{BP}, \overline{CQ}}\) zakreślają w takich obrotach pierścienie kołowe...

Pozdrawiam

[max123321]

Dobra już bez łaski, znalazłem to o co mi chodzi. Są dwa stwierdzenia, które to załatwiają:
1. Jeśli \(\displaystyle{ k||l}\) i \(\displaystyle{ k \subseteq \pi}\), to \(\displaystyle{ l||\pi}\)
2. Jeśli w płaszczyźnie \(\displaystyle{ \pi_1}\) zawarte są dwie nierównoległe proste \(\displaystyle{ k,l}\) takie, że \(\displaystyle{ k||\pi_2}\) i \(\displaystyle{ l||\pi_2}\) to wówczas \(\displaystyle{ \pi_1||\pi_2}\)

Dobra no to równoległość płaszczyzn \(\displaystyle{ PBD}\) i \(\displaystyle{ CQS}\) jest załatwiona. A jak znaleźć odległość między nimi? Dlaczego te płaszczyzny są prostopadłe do przekątnej kwadratu?

[JHN]

Mała kwerenda:

...Są dwa stwierdzenia, które to załatwiają...

...zauważysz pary odcinków równoległych...

Dlaczego te płaszczyzny są prostopadłe do przekątnej kwadratu?

Kwadratu

Jedna z osi obrotów własnych sześcianu zawiera jego przekątną \(\displaystyle{ \overline{AR}}\) ! \(\displaystyle{ \overline{BP}, \overline{CQ}}\) zakreślają w takich obrotach pierścienie kołowe...

A jak znaleźć odległość między nimi?

...Płaszczyzny [...] tną ją [przekątną sześcianu] na odcinki: dwa są wysokościami pewnych ostrosłupów, jeden - szukanym odcinkiem odległości.

Odpowiedź:    

\(\displaystyle{ \sqrt3-2\cdot{\sqrt3\over3}={\sqrt3\over3}}\)

Pozdrawiam

[max123321]

Napisałeś tylko, że są pary odcinków równoległych, ale nie uzasadniłeś dlaczego te płaszczyzny są równoległe. Porządnie to trzeba było napisać te stwierdzenia co ja napisałem, żeby było wiadomo z czego się korzysta. Bo tam wiesz, to, że te odcinki są równoległe to ja widziałem, tylko co z tego.

Tam dalej oczywiście sześcianu, a nie kwadratu, moja pomyłka.

No dobra to to jest załatwione, a dlaczego przekątna sześcianu jest prostopadła do tych płaszczyzn? I dlaczego te płaszczyzny dzielą ją na trzy równe części?

[JHN]

... a dlaczego przekątna sześcianu jest prostopadła do tych płaszczyzn?

Jedna z osi obrotów własnych sześcianu zawiera jego przekątną \(\displaystyle{ \overline{AR}}\)

Te obroty są równocześnie obrotami własnymi ostrosłupów \(\displaystyle{ BDPA}\) oraz \(\displaystyle{ QCSR}\) a ich osie zawierają ich wysokości

I dlaczego te płaszczyzny dzielą ją na trzy równe części?

Tego nie napisałem - to wynika z rachunków

...tną ją na odcinki: dwa są wysokościami pewnych ostrosłupów, jeden - szukanym odcinkiem odległości.

wysokości pewnych, czyli przystających do siebie ostrosłupów \(\displaystyle{ BDPA}\) oraz \(\displaystyle{ QCSR}\)...
\(\displaystyle{ {1\over3}\cdot\left({1\over2}\cdot1\cdot1\right)\cdot1={1\over3}\cdot{\sqrt2^2\sqrt3\over4}\cdot h}\)
Wystarczy od długości przekątnej odjąć \(\displaystyle{ 2h}\)...

Pozdrawiam
PS. Nie pisałeś, że oczekujesz pełnego, formalnego, rozwiązania tego zadanie... Najczęściej podsuwamy tylko pomysły...