Kąt dwuścienny

[inusia146]

Trzy punkty \(\displaystyle{ A, B, C}\) leżące na płaszczyźnie \(\displaystyle{ \pi}\) wyznaczają trójkąt równoramienny, w którym \(\displaystyle{ |AC|=|BC|=5}\) oraz \(\displaystyle{ |AB|=6}\). Odcinek \(\displaystyle{ DC}\) jest prostopadły do płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi}\), a jego długość jest równa \(\displaystyle{ 8}\). Oblicz tangens kąta nachylenia płaszczyzny \(\displaystyle{ ABD}\) do płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi}\).

Chodzi mi o znalezienie kąta liniowego kąta dwuściennego. Wydaje mi się, że powinnam poprowadzić wysokość \(\displaystyle{ CE}\) w trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\), która będzie prostopadła do krawędzi kąta dwuściennego. Potrzebuję jeszcze prostej prostopadłej w płaszczyźnie \(\displaystyle{ ABD}\). Czy jeśli poprowadzę wysokość w trójkącie \(\displaystyle{ ABD}\) z wierzchołka \(\displaystyle{ D}\), to jej spodkiem będzie punkt \(\displaystyle{ E}\)? (Wtedy kątem liniowym byłby kąt \(\displaystyle{ CED}\).) Jeżeli tak, to dlaczego? Jakoś nie widzę, dlaczego wysokość poprowadzona z wierzchołka \(\displaystyle{ C}\) i z wierzchołka \(\displaystyle{ D}\) miałyby mieć wspólny spodek.

[piasek101]

Tak będzie.
Połącz \(\displaystyle{ A}\) oraz \(\displaystyle{ B}\) z \(\displaystyle{ D}\).
Masz trójkąt równoramienny \(\displaystyle{ ABD}\).

[inusia146]

Masz trójkąt równoramienny \(\displaystyle{ ABD}\).

Dziękuję bardzo, nie zauważyłam, że ten trójkąt jest równoramienny.
Żeby zadanie było rozwiązane poprawnie, muszę to najpierw uzasadnić? Tzn., że spodki tych wysokości to ten sam punkt?

[piasek101]

Wg mnie po prostu możesz napisać, że tak jest.
Przecież wiemy, że wysokość trójkąta równoramiennego poprowadzona do podstawy ma spodek w jej środku.
A uzasadnienie to właśnie powyższe zdanie.

[inusia146]

Tak, tak, chodziło mi o to, że ogólnie w takich zadaniach należy najpierw sprawdzić, czy tak jest i napisać, że to zachodzi.