Stereometria zadanie

[matura2021]

Podstawą graniastosłupa prostego jest romb o boku \(\displaystyle{ a}\) i kącie ostrym \(\displaystyle{ \alpha}\). Dłuższa przekątna tego graniastosłupa tworzy ze ścianą boczną kąt \(\displaystyle{ \beta}\).
Wyprowadź wzór na objętość tego wielościanu.(nie mam odpowiedzi do tego zadania)

[Tmkk]

W którym momencie rozwiązywania pojawia się problem:
1. czy umiesz odpowiednio zaznaczyć kąt z zadania?
2. czy umiesz policzyć pole podstawy?
3. czy umiesz wyznaczyć wysokość rombu?
4. czy umiesz wyznaczyć długość dłuższej przekątnej graniastosłupa.

[JHN]

1) Narysuj podstawę graniastosłupa: romb \(\displaystyle{ ABCD}\), w którym \(\displaystyle{ |\angle DAB|=\alpha}\), dwie jego wysokości: \(\displaystyle{ \overline{DM},\ \overline{CN}}\) oraz przekątną \(\displaystyle{ \overline{AC}}\).
2) Z prostokątnego \(\displaystyle{ \Delta AMD}\) wyznacz długość wysokości, \(\displaystyle{ DM=CN}\)
3) Wyznacz długość przekątnej \(\displaystyle{ \overline{AC}}\) z prostokątnego \(\displaystyle{ \Delta ANC}\), w którym (z własności rombu) \(\displaystyle{ |\angle CAN|={\alpha\over2}}\)
4) "Dołóż" górną podstawę \(\displaystyle{ A'B'C'D'}\) i z prostokątnego \(\displaystyle{ \Delta CA'N}\), w którym \(\displaystyle{ |\angle CA'N|=\beta}\)
oblicz długość przekątnej \(\displaystyle{ \overline{A'C}}\) graniastosłupa
5) Z prostokątnego \(\displaystyle{ \Delta ACA'}\) i tw. Pitagorasa oblicz \(\displaystyle{ AA'=H}\)
6) \(\displaystyle{ V=a^2H=\cdots}\)

Pozdrawiam

[matura2021]

mam problem z rzutem prostym dłuższej przekątnej graniastosłupa na ścianę boczną więc nie mam pojęcia jak wyznaczyć wysokość graniastosłupa
Natomiast pole podstawy nie sprawia problemu.
Nigdy nie spotkałem się wcześniej z takim przykładem wcześniej

Dodano po 1 minucie 45 sekundach:

1) Narysuj podstawę graniastosłupa: romb \(\displaystyle{ ABCD}\), w którym \(\displaystyle{ |\angle DAB|=\alpha}\), dwie jego wysokości: \(\displaystyle{ \overline{DM},\ \overline{CN}}\) oraz przekątną \(\displaystyle{ \overline{AC}}\).
2) Z prostokątnego \(\displaystyle{ \Delta AMD}\) wyznacz długość wysokości, \(\displaystyle{ DM=CN}\)
3) Wyznacz długość przekątnej \(\displaystyle{ \overline{AC}}\) z prostokątnego \(\displaystyle{ \Delta ANC}\), w którym (z własności rombu) \(\displaystyle{ |\angle CAN|={\alpha\over2}}\)
4) "Dołóż" górną podstawę \(\displaystyle{ A'B'C'D'}\) i z prostokątnego \(\displaystyle{ \Delta CA'N}\), w którym \(\displaystyle{ |\angle CA'N|=\beta}\)
oblicz długość przekątnej \(\displaystyle{ \overline{A'C}}\) graniastosłupa
5) Z prostokątnego \(\displaystyle{ \Delta ACA'}\) i tw. Pitagorasa oblicz \(\displaystyle{ AA'=H}\)
6) \(\displaystyle{ V=a^2H=\cdots}\)

Pozdrawiam

jeżeli dobrze zrozumiałem to bok \(\displaystyle{ AN}\) trójkąta \(\displaystyle{ ACN}\) wychodzi poza graniastosłup. Jednak gubię się kompletnie w punkcie 4 w naniesieniu kąta \(\displaystyle{ \beta}\) .
Nie rozumiem jak nanieść rzut prosty tej przekątnej graniastosłupa i obliczyć wysokość.

[JHN]

Wyobraźni przestrzennej nikt Ci na forum nie zastąpi..., ale możesz pomóc sobie sam:
Narysuj na kartce romb podstawy i ścianę \(\displaystyle{ ABB'A'}\). Zegnij kartkę wzdłuż \(\displaystyle{ \overline{AB}}\) pod kątem prostym. Przyłóż ołówek jak przekątną graniastosłupa i oświetl lampką telefonu "prostopadle" do ściany bocznej... powinieneś zobaczyć cień ołówka... kąt pomiędzy nim a ołówkiem jest danym kątem \(\displaystyle{ \beta.}\)

Powodzenia, pozdrawiam

[matura2021]

Super zrozumiałem Dziękuje za chwile czasu i pomoc