Wysokości w czworościanie, wysokości w trójkącie

[dinx]

Niestety nie wiem jak się za to zabrać. Podejrzewam, że coś na wektorach.

1) Udowodnić, że wysokości opuszczone na ściany czworościanu foremnego przecinają się dokładnie w jednym punkcie, który dzieli je w stosunku \(\displaystyle{ 3:1}\).
2) Podać za pomocą \(\displaystyle{ A,B,C}\) wysokości trójkąta.

[Jan Kraszewski]

2) Podać za pomocą \(\displaystyle{ A,B,C}\) wysokości trójkąta.

A co to znaczy?

JK

[JHN]

1) Udowodnić, że wysokości opuszczone na ściany czworościanu foremnego przecinają się dokładnie w jednym punkcie, który dzieli je w stosunku \(\displaystyle{ 3:1}\).

Uruchom wyobraźnię, ...
Czworościan foremny ma cztery osie obrotów własnych, zawierają one wysokości (długości \(\displaystyle{ H}\)) czworościanu. Przycinają się one we wspólnym środku kul: opisanej na czworościanie i wpisanej (o promieniu \(\displaystyle{ r}\)) w niego.
Czworościan foremny można rozciąć na cztery przystające ostrosłupy prawidłowe o wspólnym wierzchołku, zatem
\(\displaystyle{ 4\cdot{1\over3}\cdot{a^2\sqrt3\over4}\cdot r={1\over3}\cdot{a^2\sqrt3\over4}\cdot H}\)
czyli
\(\displaystyle{ r={1\over4}H}\)
co jest równoważne tezie

Pozdrawiam

[matmatmm]

Uruchom wyobraźnię, ...
Czworościan foremny ma cztery osie obrotów własnych, zawierają one wysokości (długości \(\displaystyle{ H}\)) czworościanu. Przycinają się one we wspólnym środku kul: opisanej na czworościanie i wpisanej (o promieniu \(\displaystyle{ r}\)) w niego.

Dla mnie wcale nie jest to dowód, że przecinają się w jednym punkcie. Ja bym robił tak:

Najpierw pokazujemy, że spodek każdej wysokości czworościanu leży w ortocentrum podstawy. Później pokazujemy, że biorąc dowolne dwie wysokości czworościanu są one zawarte w jednej płaszczyźnie - dokładnie w płaszczyźnie wyznaczonej przez wysokości ścian bocznych. Wreszcie już w tym pokazujemy, że te wysokości czworościanu przecinają się w odpowiedniej proporcji - można to zrobić wykorzystując tw. Pitagorasa. Stąd wynika, że wszystkie wysokości przecinają się w jednym punkcie.

[dinx]

2) Podać za pomocą \(\displaystyle{ A,B,C}\) wysokości trójkąta.

A co to znaczy?

JK

ABC to wierzchołki trójkąta.

[Jan Kraszewski]

Ale to polecenie nie ma sensu. Co to znaczy "Podać za pomocą wierzchołków trójkąta wysokości trójkąta"? Pomijając już kwestię, że w tym zadaniu badasz czworościan, a nie trójkąt.

JK

[dinx]

Ale to polecenie nie ma sensu. Co to znaczy "Podać za pomocą wierzchołków trójkąta wysokości trójkąta"? Pomijając już kwestię, że w tym zadaniu badasz czworościan, a nie trójkąt.

JK

To są dwa osobne polecenia.

[Jan Kraszewski]

Co nie zmienia faktu, ze polecenie nie ma sensu.

JK

[dinx]

Niestety, nie mam na to wpływu Z zadań na zajęciach podejrzewam, że to zadanie trzeba wykonać na wektorach.

[Jan Kraszewski]

A możesz wytłumaczyć, co według Ciebie to zadanie oznacza? Bo trudno oczekiwać, że ktoś pomoże Ci w rozwiązaniu zadania, którego sformułowanie nie ma sensu.

JK

[dinx]

A możesz wytłumaczyć, co według Ciebie to zadanie oznacza? Bo trudno oczekiwać, że ktoś pomoże Ci w rozwiązaniu zadania, którego sformułowanie nie ma sensu.

JK

Na zajęciach udowadnialiśmy twierdzenie o środkowych w trójkącie. Przy oznaczeniach \(\displaystyle{ ABC}\) jako wierzchołki trójkąta, \(\displaystyle{ A_1}\) jest punktem na \(\displaystyle{ |BC|}\), a więc \(\displaystyle{ A_1=\frac12 B+\frac12 C}\). Następnie określiliśmy \(\displaystyle{ S=\frac13A+\frac23A_1}\), więc \(\displaystyle{ S=\frac13A+\frac13B+\frac13C}\).
Nie do końca rozumiem ten zapis. Następnie udowadnialiśmy, że czworokąt jest równoległobokiem wtedy i tylko wtedy, gdy środki przekątnych pokrywają się, a później środki boków dowolnego czworokąta są wierzchołkami równoległoboku. Później mieliśmy iloczyn skalarny i do domu były te polecenia. Nie umiem Ci tego wyjaśnić inaczej. Może ten jeden przykład Ci coś rozjaśni.

[matmatmm]

No to na zajęciach mieliście \(\displaystyle{ A,B,C}\) jako współrzędne wierzchołków trójkąta w układzie współrzędnych. W zadaniu

2) Podać za pomocą \(\displaystyle{ A,B,C}\) wysokości trójkąta.

być może chodzi o wyznaczenie długości wysokości trójkąta w zależności od współrzędnych wierzchołków.

[dinx]

No to na zajęciach mieliście \(\displaystyle{ A,B,C}\) jako współrzędne wierzchołków trójkąta w układzie współrzędnych. W zadaniu

2) Podać za pomocą \(\displaystyle{ A,B,C}\) wysokości trójkąta.

być może chodzi o wyznaczenie długości wysokości trójkąta w zależności od współrzędnych wierzchołków.

Tak, możliwe, że o to chodzi.