Matematyka.pl

W kulę o promieniu długości R wpisano walec o największej objętości. Wyznacz stosunek objętości kuli do objętości tego walca.

Pomocy, pozdrawiam

Niech r będzie promieniem podstawy rozważanogo walca, a h jego wysokością.
Mamy \(\displaystyle{ r^2+(h/2)^2=R^2}\)
Objętość walca to \(\displaystyle{ \pi r^2h=\pi(R^2-h^2/4)h=\pi(R^2h-h^3/4)=:V(h)}\).
Funkcja V(h) przyjmuje maksimum dla takiego h, że V'(h)=0, czyli
\(\displaystyle{ \pi(R^2-3h^2/4)=0}\). Stąd \(\displaystyle{ h=\frac2{\sqrt3}R}\), a szukany stosunek objętości brył wynosi
\(\displaystyle{ \frac{\frac43\pi R^3}{\pi(R^2h-h^3/4)}=\frac{\frac43}{\frac hR-(\frac hR)^3/4}
=\frac{\frac43}{\frac2{\sqrt3}-(\frac2{\sqrt3})^3/4}=\\
=\frac{\frac43}{\frac2{\sqrt3}(1-1/3)}=\sqrt3}\)