objętość prostopadłościanu z zaokrąglonymi narożami (trudne i ciekawe)

[gajek1901]

Jak obliczyć objętość prostopadłościanu z zaokrąglonymi narożami ??
Wymiary jak w załączonym obrazku.
W sumie to obrazek przedstawia kęsa stalowego z zaokrąglonymi narożami i chciałbym obliczyć jego wagę przyjmując gestosc stali \(\displaystyle{ 7900 kg/m^3}\)



Da ktoś radę ?

[a4karo]

Osiem krótkich ćwierćwałkow, cztery dlugie ćwierćwałki, cztery prostopadłościany, dwa prostopadłościany o podstawie kwadratowej, jeden duży prostopadłościan w środku i jedna kulka.

[Gosda]

Załóżmy, że wymiary zewnętrznego prostopadłościanu to \(\displaystyle{ x \times y \times z}\), natomiast promień zaokrąglenia wynosi \(\displaystyle{ r}\) i że wszystkie narożniki są zaokrąglone (rysunek nie jest bardzo wyraźny).

Wtedy objętość takiej bryły składa się z:

Prostopadłościanu wewnątrz: \( (x-2r)(y-2r)(z-2r) \)
Sześciu prostopadłościanów doklejonych do niego: \( 2r \cdot ( (x-2r)(y-2r) + (y-2r)(z-2r) + (x-2r)(z-2r)) \)
Trzech walców złożonych z ćwiartek wzdłuż krawędzi: \( \pi r^2 \cdot ( x - 2r + y -2r + z -2r) \)
Kuli złożonej z ośmiu ćwiartek: \( \frac 43 \pi r^3 \)

Przyjemność podstawienia danych liczbowych oraz wysumowania tego pozostawiam Autorowi wątku.