Czworościany

[kerajs]

Jedna ściana czworościanu jest trójkątem równobocznym o boku \(\displaystyle{ a}\), a pozostałe są trójkątami prostokątnymi.
Proszę wskazać ile jest takich czworościanów (i podać długości ich pozostałych krawędzi), lub wykazać że jest ich nieskończenie wiele.

[piasek101]

Mi wyszło, że jest takie dwa.
Rozpatrywałem przypadki (podstawa to równoboczny),
biorąc odpowiednie równania z Pitagorasa :
1) trzy kąty proste w wierzchołku (tu mamy jeden - prawidłowy ostrosłup)
2) dwa kąty proste przy wierzchołku (brak)
3) jeden prosty przy wierzchołku (tu mamy jeden - ściana z kątem prostym przy wierzchołku to trójkąt równoramienny)
4) trzy kąty proste przy podstawie (brak).
Długości krawędzi z Pitagorasa.

[kerajs]

Istotnie, są tylko dwa takie czworościany.

1) trzy kąty proste w wierzchołku (tu mamy jeden - prawidłowy ostrosłup)

Jego pozostałe krawędzie to: \(\displaystyle{ \frac{a}{ \sqrt{2} } , \frac{a}{ \sqrt{2} } , \frac{a}{ \sqrt{2} }}\) , a objętość : \(\displaystyle{ \frac{a^3 \sqrt{2} }{24} , }\)

3) jeden prosty przy wierzchołku (tu mamy jeden - ściana z kątem prostym przy wierzchołku to trójkąt równoramienny)

Tu pozostałe krawędzie to: \(\displaystyle{ \frac{a}{ \sqrt{2} } , \frac{a }{ \sqrt{2} } , \frac{a \sqrt{3} }{ \sqrt{2} } }\) , a objętość: \(\displaystyle{ \frac{a^3 \sqrt{5} }{32} , }\)


PS
Łącząc ścianą równoboczną dwa takie czworościany można otrzymać 4 istotnie różne sześciościany o ścianach będących trójkątami prostokątnymi.
Oczywiście istnieje nieskończenie wiele sześciościanów o ścianach będących trójkątami prostokątnymi, jednak czy są takie w których przy trzech wierzchołkach są po dwa kąty proste?

Dodano po 6 godzinach 8 minutach 51 sekundach:
PPS
Czy istnieje sześciościan o ścianach będących trójkątami prostokątnymi, w którym przy każdym wierzchołku jest kąt prosty?