Wyznaczenie maksymalnej objętości stożka

[zuza1414]

Hej, bardzo proszę o pomoc z zadaniem:
„ Jaki wycinek koła należy usunąć by z pozostałej części (po sklejeniu) uzyskać naczynie w kształcie stożka o maksymalnej objętości”

Wynik to: \(\displaystyle{ 2 \pi \frac{( \sqrt{3}- \sqrt{2}) }{ \sqrt{3} } }\)

[piasek101]

Szukamy stożka o największej V o ścianie bocznej, która jest wycinkiem koła o promieniu jeden i kącie środkowym \(\displaystyle{ \alpha}\). Długość jego zakrzywionej części to \(\displaystyle{ l=\frac{\alpha}{2\pi}\cdot 2\pi\cdot 1}\). Z tego promień stożka to \(\displaystyle{ r=\frac{\alpha}{2\pi}}\). Wstawiamy do wzoru na objętość
\(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}\pi r^2 h}\); do tego (h) z Pitagorasa.
Mamy \(\displaystyle{ V(\alpha)}\) szukamy max, (pochodna) i mamy je dla \(\displaystyle{ \alpha=2\sqrt{\frac{2}{3}}\pi}\)