Oblicz objętość bryły powstałej przez obrót trapezu

[szóstka]

Trapez prostokątny o podstawach długości a= 10 i b= 6 oraz kącie ostrym \(\displaystyle{ \alpha=30^o}\) obraca się dookoła dłuższej podstawy. Oblicz objętość otrzymanej bryły obrotowej.

[Zlodiej]

Podziel sobie ten trapez ABCD na trójkąt prostokątny i prostokąt opuszczając wysokość z wierzchołka C (C należy do krótszej podstawy i kąt C sąsiaduje z kątem ostrym).
Zauważ, że przyprostokątna leżaca prz kącie \(\displaystyle{ \alpha}\) ma długość 10-6=4. Oraz, że trójkat ten jest trójkątem o kątach 30,60,90. Skoro masz długość jednego boku tego trójkąta z własności trójkąta 30,60,90 można już łatwo policzyc pozostałe boki. W ten sposób wyliczasz wysokość trapezu (czyli długość jednego z ramion będących przy kącie prostym) oraz długość drugiego ramienia.

Zauważ, że objętość powstałej bryły to suma objętości walca i stożka.
Do obliczenia objętości walca potrzebujesz długość wysokości oraz długość promienia podstawy. Wysokość to krótsza podstawa trapezu, natomiast promień to wysokość tego trapezu. Czyli podstawiamy tylko do wzoru:
\(\displaystyle{ V_1=\pi\cdot r^2\cdot H}\)

Do obliczenia objętośći stożka potrzebujemy długość wysokości oraz długość promienia podstawy. Widać, że promień podstawy stożka jest taki sam jak promień podstawy walca czyli jest to wysokość trapezu. Wysokość stożka to róznica pomiędzy długością dłuższej, a krótszej podstawy trapezu czyli 10-6=4. Teraz wystarczy podstawić do wzoru:
\(\displaystyle{ V_2=\frac{\pi\cdot r^2\cdot h}{3}}\)

Stąd mamy:
\(\displaystyle{ V=V_1+V_2}\)