Kula i walec

[41421356]

Kula o promieniu \(\displaystyle{ r}\) znajduje się w walcu o promieniu podstawy \(\displaystyle{ r}\) i wysokości równej \(\displaystyle{ 2r}\). Kulę przecinamy dwiema płaszczyznami, które są prostopadłe do wysokości walca oraz odległymi od siebie o \(\displaystyle{ h}\). Wykazać, że wycięta w ten sposób cześć sfery ma pole równe wyciętej części z walca, tj.\(\displaystyle{ 2\pi rh}\).

[janusz47]

Zastosowanie rachunku różniczkowego i całkowego (rys)

Pole \(\displaystyle{ P }\) segmentu (pasa) sfery:

\(\displaystyle{ P = 2\pi \int x(z)\sqrt{ 1 + x'(z)^2}dz }\)

\(\displaystyle{ x(z) = \sqrt{r^2 - z^2} }\)

\(\displaystyle{ x'(z) = -\frac{z}{\sqrt{r^2 - z^2}} }\)

\(\displaystyle{ x'(z)^2 = \frac{z^2}{\sqrt{r^2 - z^2}} }\)


\(\displaystyle{ P = 2\pi \int_{\sqrt{r^2-a^2}}^{\sqrt{r^2 -b^2}} \sqrt{r^2 -z^2} \sqrt{1 + \frac{z^2}{r^2 -z^2}} dz = 2\pi r \int_{\sqrt{r^2 -a^2}}^{\sqrt{r^2-b^2}}dz = 2\pi r ( \sqrt{r^2 -b^2} - \sqrt{r^2 -a^2}) = 2\pi r h. }\)

Pole segmentu walca ....

[41421356]

Dziękuję za pomoc.