Matematyka.pl

Ostatnio, rozwiązując pewien problem, musiałem znaleźć objętość odcinka kuli. Niewiele myśląc, wygooglałem to: . Problem rozwiązałem, stosując wzór zawarty w tym linku. Ale nijak nie potrafię go wyprowadzić. Pomóżcie.

Czy twierdzenie Pappusa - Guldina nie może być "użyte"?

Wskazówka: odcinek kuli jest różnicą odpowiadającego mu wycinka kuli i stożka.

Możemy pocałkować:

\(\displaystyle{ V= \int\limits_{r-h}^r \int_{B \left( \sqrt{r^2-z^2} \right) }1 dxdydz= \int\limits_{r-h}^r \pi \left( r^2-z^2 \right) dz=\pi r^2 h- \frac{1}{3} \pi\left( r^3- \left( r-h \right) ^3 \right)=\\=\pi h^2 \cdot \frac{3r-h}{3},}\)

przy czym \(\displaystyle{ B \left( \sqrt{r^2-z_0 ^2} \right)}\) oznacza dysk o promieniu \(\displaystyle{ \sqrt{r^2-z_0 ^2}}\) dla \(\displaystyle{ z_0 \in \left( r-h,r\right)}\) (przyjąłem oznaczeniu zgodnie z artykułem z wikipedii).

karolex123, a bez całkowania się nie da?