Matematyka.pl

Witam, niedawno forum pomogło mi udowodnić w ciekawy sposób prostokreślność hiperboloidy jednopowłokowej i chwała Wam za to. Teraz stoję przed problemem prostokreślności paraboloidy hiperbolicznej. Nie widzę jak się do tego zabrać. Na początek chciałem wybrać przekrój płaszczyzną prostopadłą do osi symetrii zawierającą punkt (0,0,0). Otrzymuje w ten sposób dwie proste ale nie mogę sobie wyobrazić ani narysować jak wygląda ten ruch.
Poprzedni temat:
441287.htm

Poszukując parametryzacji w formie prostych paraboloidy hiperbolicznej można zaobserwować, że równanie

\(\displaystyle{ z = 2x\cdot y \ \ (0)}\)

jest liniowe - osobno względem zmiennej \(\displaystyle{ x}\) i osobno względem zmiennej \(\displaystyle{ y.}\)

Kładąc na przykład \(\displaystyle{ x = u}\) (płaszczyzna prostopadła do osi Ox) - otrzymamy

\(\displaystyle{ z = 2u\cdot y}\) (równanie płaszczyzny)

Przecięcie się tych dwóch płaszczyzn jest prostą.

Zmieniając parametr \(\displaystyle{ u}\) -notrzymywać będziemy różne proste zawarte w paraboloidzie.

Aby znaleźć krzywą, którą nazywamy kierownicą powierzchni - wyznaczamy przecięcie rodziny prostych:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x = u \\ z = 2u\cdot y \end{cases} \ \ (1)}\)

z płaszczyzną

\(\displaystyle{ z = 0}\)

W ten sposób otrzymujemy

\(\displaystyle{ x = u , \ \ y = z =0}\)

i kierownicę

\(\displaystyle{ \vec{\alpha(u)} = [ u,\ \ 0, \ \ 0 ]}\)

Musimy jeszcze znaleźć wektor \(\displaystyle{ \vec{\beta}}\)

Dla każdej ustalonej wartości parametru \(\displaystyle{ u}\) musi on być równoległy do prostej \(\displaystyle{ (1)}\)

Jak go wyznaczyć? Wystarczy wybrać na niej dwa punkty na przykład \(\displaystyle{ (u,0,0)}\) i \(\displaystyle{ (u,1,2u ).}\)

Odejmując odpowiednie współrzędne tych punktów, znajdujemy

\(\displaystyle{ \vec{\beta}(u) = \left[\begin{matrix}0 \\ 1 \\ 2u \end{matrix}\right].}\)

Pozwala nam to na zapisanie poszukiwanej parametryzacji w postaci

\(\displaystyle{ \vec{r}(u,v) = \left [\begin{matrix} x(u,v)\\ y(u,v)\\ z(u, v) \end{matrix}\right] = \left [\begin{matrix} u\\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right] +v \left [\begin{matrix} 0\\ 1 \\ 2u \end{matrix}\right]}\)

Paraboloida hiperboliczna jest więc powierzchnią prostokreślną.

Proszę wstawić do równania \(\displaystyle{ (0)}\)

\(\displaystyle{ x(u,v), \ \ y(u,v), \ \ z(u,v)}\) i sprawdzić czy jest ono spełnione.

Super, łatwo poszło. Wstawiłem do maximy nawet i wygląda to super.

Mam tylko pytanie czy paraboloida hiperboliczna takiej postaci:
\(\displaystyle{ \frac{x^{2}}{a^2}-\frac{y^{2}}{b^2}=z}\)
jest prostokreślna? Dla jakiegoś a i b?

Dla \(\displaystyle{ a = b.}\)