Czyli dla takiego równania:
\(\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1}\), gdzie \(\displaystyle{ a \neq b}\)
Zakładam, że tak i próbuję to udowodnić. Korzystam z definicji prostokreślności:
Kod: Zaznacz cały
https://pl.wikipedia.org/wiki/Powierzchnia_prostokre%C5%9Blna
Rozumiem że \(\displaystyle{ \beta}\) to kierownica a \(\displaystyle{ \gamma}\) to kierunek prostej czyli to można zapisać w postaci:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
x(u,v)=\beta_1(u)+v \cdot \gamma_1(u)\\
y(u,v)=\beta_2(u)+v \cdot \gamma_2(u) \\
z(u,v)= \beta_3(u)+v \cdot \gamma_3(u)
\end{cases}}\)
Zacząłem od przekroju płaszczyzną OXY dla \(\displaystyle{ z = 0}\) i otrzymałem elipsę. Wziąłem jej parametryzację i jest to moje szukane \(\displaystyle{ \beta}\) (\(\displaystyle{ z=0}\)). Dalej zapisałem równanie prostej zawartej w tej powierzchni:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x(u,v) = a \cdot \cos (u) + \gamma_1 (u) \cdot t\\
y(u,v)= b \cdot \sin (u) + \gamma_2 (u) \cdot t \\
z(u,v)= \gamma_3(u) \cdot t
\end{cases}}\)
Podstawiłem to tego wzoru hiper. jedn. i otrzymałem równość i ma to być spełnione dla wszystkich \(\displaystyle{ a,b}\) i \(\displaystyle{ c}\). Czyli nieskończenie wiele rozwiązań, zatem \(\displaystyle{ 0 = 0}\). Stąd powstaje mi nowy układ równań z 3 niewiadomymi. Niewiadomymi są \(\displaystyle{ \gamma _1 , \gamma _2 , \gamma _3.}\)
Wpadłem na pomysł skalowania wektora \(\displaystyle{ \gamma}\) ( nie wiem właśnie czy można?) i podstawiłem \(\displaystyle{ \gamma _3 =1}\). Czy jest to poprawne ? Bo otrzymałem rozwiązanie, podstawiłem do maximy i nie wychodzi z tego hiperboloida :/ Wydaje mi się że albo źle rozumiem definicję prostokreślności albo nie można skalować wektora \(\displaystyle{ \gamma}\)