Prostokreślność hiperboloidy

Sześciany. Wielościany. Kule. Inne bryły. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa w przestrzeni.
gecov
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 8 cze 2019, o 20:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Prostokreślność hiperboloidy

Post autor: gecov » 8 cze 2019, o 21:00

Witam, mam pytanie na temat hiperboloidy jednopowłokowej. Czy każda hiperboloida jednopowłokowa jest prostokreślna? Mam tu na myśli powierzchnię nie obrotową
Czyli dla takiego równania:
\(\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1}\), gdzie \(\displaystyle{ a \neq b}\)

Zakładam, że tak i próbuję to udowodnić. Korzystam z definicji prostokreślności:
https://pl.wikipedia.org/wiki/Powierzch ... stokreślna

Rozumiem że \(\displaystyle{ \beta}\) to kierownica a \(\displaystyle{ \gamma}\) to kierunek prostej czyli to można zapisać w postaci:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x(u,v)=\beta_1(u)+v \cdot \gamma_1(u)\\ y(u,v)=\beta_2(u)+v \cdot \gamma_2(u) \\ z(u,v)= \beta_3(u)+v \cdot \gamma_3(u) \end{cases}}\)

Zacząłem od przekroju płaszczyzną OXY dla \(\displaystyle{ z = 0}\) i otrzymałem elipsę. Wziąłem jej parametryzację i jest to moje szukane \(\displaystyle{ \beta}\) (\(\displaystyle{ z=0}\)). Dalej zapisałem równanie prostej zawartej w tej powierzchni:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x(u,v) = a \cdot \cos (u) + \gamma_1 (u) \cdot t\\ y(u,v)= b \cdot \sin (u) + \gamma_2 (u) \cdot t \\ z(u,v)= \gamma_3(u) \cdot t \end{cases}}\)
Podstawiłem to tego wzoru hiper. jedn. i otrzymałem równość i ma to być spełnione dla wszystkich \(\displaystyle{ a,b}\) i \(\displaystyle{ c}\). Czyli nieskończenie wiele rozwiązań, zatem \(\displaystyle{ 0 = 0}\). Stąd powstaje mi nowy układ równań z 3 niewiadomymi. Niewiadomymi są \(\displaystyle{ \gamma _1 , \gamma _2 , \gamma _3.}\)

Wpadłem na pomysł skalowania wektora \(\displaystyle{ \gamma}\) ( nie wiem właśnie czy można?) i podstawiłem \(\displaystyle{ \gamma _3 =1}\). Czy jest to poprawne ? Bo otrzymałem rozwiązanie, podstawiłem do maximy i nie wychodzi z tego hiperboloida :/ Wydaje mi się że albo źle rozumiem definicję prostokreślności albo nie można skalować wektora \(\displaystyle{ \gamma}\)
Ostatnio zmieniony 8 cze 2019, o 21:05 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Symbol mnożenia to \cdot. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.

kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6289
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów

Re: Prostokreślność hiperboloidy

Post autor: kruszewski » 8 cze 2019, o 22:30

Może na początek zrobić model jak tu:
https://www.google.pl/search?q=hiperbol ... TXgsQVQfGM:

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4967
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna

Re: Prostokreślność hiperboloidy

Post autor: janusz47 » 8 cze 2019, o 23:37

Rys.

Równania parametryczne hiperboloidy

\(\displaystyle{ x(u, \phi)=..., \ \ y(u,\phi)=..., \ \ z(u,\phi)=..., \ \ u\in R, \ \ \phi \in [0, 2\pi].}\)

Z równania ogólnego hiperboloidy jednopowłokowej i rysunku wynika, że proste, których szukamy- muszą wychodzić z elipsy

\(\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}= 1}\) leżącej w płaszczyźnie \(\displaystyle{ z =0.}\)

Jest to elipsa największego przewężenia hiperboloidy. Jeśli tak, to znaczy znaleźliśmy krzywą, która jest kierownicą badanej powierzchni.

Wykorzystując równanie:

\(\displaystyle{ r(u,v) = \vec{\alpha}(u) +v\vec{\beta}(u)}\)

Krzywa \(\displaystyle{ \vec{\alpha}u}\) nosi nazwę kierownicy, a prosta, która "patrzy" w kierunku \(\displaystyle{ \vec{\beta}u}\) - prostej tworzącej danej powierzchni.

możemy napisać

\(\displaystyle{ \vec{\alpha}(\theta) = \left[\begin{matrix} a\cos(\theta)\\ b\sin(\theta)\\ 0 \end{matrix}\right]}\)

Musimy znaleźć jeszcze współrzędne wektora \(\displaystyle{ \vec{\beta}.}\)

Wprowadzając oznaczenia \(\displaystyle{ \vec{\beta} = [ d \ \ e \ \ f ] ^{T}}\), stwierdzamy, że będzie spełnione równanie:

\(\displaystyle{ \vec{r}(\theta, t)} = \left[ \begin{matrix}x(t, \theta)\\ y(t, \theta)\\z(t, \theta) \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} a\cos(\theta)\\ b\sin(\theta)\\ 0 \end{matrix}\right] + t \left[\begin{matrix} d\\e\\ f \end{matrix} \right] \ \ (1)}\)

Proszę tak dobrać liczby \(\displaystyle{ d, e, f}\) aby równanie (1) stanowiło parametryzację hiperboloidy.

Należy zauważyć, że szukana prosta ( a zatem także wektor \(\displaystyle{ \vec{\beta})}\)

w punkcie, w którym przecina ona kierownicę czyli w \(\displaystyle{ (a\cos(\theta), b\sin(\theta), 0)}\)

musi być prostopadła do wektora współrzędnych:

\(\displaystyle{ [a\cos(\theta), \ \ b\sin(\theta), \ \ 0].}\)

Wynika to z symetrii bryły przy odbiciu \(\displaystyle{ z \rightarrow -z.}\)

Musi więc zachodzić równanie

\(\displaystyle{ \vec{\beta}\cdot [a\cos(\theta), \ \ b\sin(\theta), \ \ 0] = 0}\)

Wybieramy \(\displaystyle{ d= ..., \ \ e = ....}\)

Wartość liczby \(\displaystyle{ f}\) znajdujemy z warunku, że współrzędne \(\displaystyle{ x, y, z}\) spełniają równanie ....

Ten wymóg pozwoli nam ustalić wartość parametru \(\displaystyle{ c,}\) z którego po prostych przekształceniach wynika, że \(\displaystyle{ f^2 = ...}\) czyli \(\displaystyle{ f = ...}\)

Znaleźliśmy dwie różne parametryzacje prostokreślne

\(\displaystyle{ \vec{r}(\theta, t) =...}\)

Hiperboloida jednopowłokowa okazała się powierzchnią podwójnie prostokreślną .

gecov
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 8 cze 2019, o 20:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Re: Prostokreślność hiperboloidy

Post autor: gecov » 9 cze 2019, o 00:46

Oj dziękuję za taką wielką pomoc. Nie spodziewałem się aż takiej wielkiej podpowiedzi.
Mam pytanie bo robiłem identycznie aż do momentu przedstawienia równania (1). W tym momencie zapisałem układ równań i wstawiłem go do równania hiperboloidy. Następnie chciałem uprościć wyrażenie wyciągająć parametr t przed nawias.
Otrzymałem w ten sposób:
\(\displaystyle{ t^2(...)+t(...)=0}\)
I równanie to jeżeli jest spełnione dla każdego a,b i c to jest spełnione dla każdej hiperboloidy.
Więc powstaje mi nowy układ równań gdzie oba nawiasy są równe zeru. Da się z tego coś dalej zrobić? bo mam 3 niewiadome i dwa równania. Niewiadome to odpowiedniki u Pana d, e i f.
Dziękuję raz jeszcze

-- 9 cze 2019, o 02:15 --

Nie wiem czy coś źle robię czy jak. Pewnie nie widzę jakiegoś prostego przejścia.
Podstawiłem do równania hiperboloidy :
\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix} a\cos(\theta)\\ b\sin(\theta)\\ 0 \end{matrix}\right] + t \left[\begin{matrix} d\\e\\ f \end{matrix} \right]}\)
i otrzymałem równanie:
\(\displaystyle{ t^2(\frac{d^2}{a^2}+\frac{e^2}{b^2}-\frac{f^2}{c^2})=0}\)-- 9 cze 2019, o 02:34 --Jednak to co napisałem nie ma sensu, miałem błąd w przekształceniu.
Zatrzymałem się na wyznaczeniu d i e. Dochodzę do takiego "czegoś":
\(\displaystyle{ \begin{cases}t^2(\frac{d^2}{a^2}+\frac{e^2}{b^2}-\frac{f^2}{c^2})+2t(\frac{d\cdot\cos(u)}{a}+\frac{e\cdot\sin(u)}{b})=0\\ ad\cos(u)=-be\sin(u) \end{cases}}\)

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4967
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna

Prostokreślność hiperboloidy

Post autor: janusz47 » 9 cze 2019, o 09:02

\(\displaystyle{ \vec{\beta}\cdot [a\cos(\theta), \ \ b\sin(\theta) \ \ 0] = 0}\)

\(\displaystyle{ [ d \ \ e \ \ f]\cdot [a\cos(\theta) \ \ b\sin(\theta) \ \ 0] = 0}\)

\(\displaystyle{ d\cdot a\cos(\theta) + b\cdot e\sin(\theta) = 0.}\)

Stąd

\(\displaystyle{ d = -b\sin(\theta), \ \ e = a\cos(\theta) \ \ (2)}\)

Inny wybór parametrów \(\displaystyle{ a, b}\) prowadzi jedynie do przeskalowania \(\displaystyle{ t.}\)

Współrzędne \(\displaystyle{ x, y, z}\) spełniają równanie hiperboli

Po podstawieniu \(\displaystyle{ (2)}\), otrzymujemy równanie:

\(\displaystyle{ [a\cos(\theta) - t\cdot b\sin(\theta)]^2 +[b\sin(\theta)+ t\cdot a\cos(\theta)]^2 - t^2\cdot f^2 = 1.}\)

Proszę wyznaczyć z tego równania wartość parametru \(\displaystyle{ f.}\)

-- 9 cze 2019, o 10:41 --

Jaki możemy wyciągnąć wniosek z rozwiązania tego równania na wartość parametru \(\displaystyle{ f?}\)-- 9 cze 2019, o 10:47 --Dla jakich wartości parametrów \(\displaystyle{ a, b, c}\) hiperbola jednopowłokowa jest powierzchnią podwójnie dwukreślną?

gecov
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 8 cze 2019, o 20:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Prostokreślność hiperboloidy

Post autor: gecov » 9 cze 2019, o 10:51

W tym ostatnim równaniu nie brakuje dzielenia przez kolejno \(\displaystyle{ a^2, b^2}\) i \(\displaystyle{ c^2}\)?

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4967
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna

Prostokreślność hiperboloidy

Post autor: janusz47 » 9 cze 2019, o 11:08

Brakuje.

\(\displaystyle{ \frac{[a\cos(\theta) - t\cdot b\sin(\theta)]^2}{a^2} +\frac{[b\sin(\theta)+ t\cdot a\cos(\theta)]^2}{b^2} - \frac{t^2\cdot f^2}{c^2} =1.}\)

Da jakich wartości \(\displaystyle{ a, b , c}\) istnieje jednoznacznie wyznaczona (niezależna od t ) wartość \(\displaystyle{ f}\) i ile ona wynosi?

gecov
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 8 cze 2019, o 20:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Re: Prostokreślność hiperboloidy

Post autor: gecov » 9 cze 2019, o 11:36

Czy aby na pewno hiperboloida jednopowłokowa (dla \(\displaystyle{ a \neq b}\)) jest prostokreślna? Bo nie znalazłem na internecie jej parametryzacji, tylko i wyłącznie znalazłem dla obrotowej.-- 9 cze 2019, o 11:40 --Zatrzymuje się na równaniu takim, gdzie dla a=b równanie rozwiązuje się samo. Dla różnych jest już ciężej.

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4967
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna

Prostokreślność hiperboloidy

Post autor: janusz47 » 9 cze 2019, o 11:50

Tylko hiperboloida kołowa \(\displaystyle{ a = b}\) jest prostokreślna.

Wtedy z ostatniego równania wynika, że wartość \(\displaystyle{ f = \pm c.}\)

Mamy dwie różne parametryzacje prostokreślne

\(\displaystyle{ \vec{r}(\theta, t)} = \left[ \begin{matrix}x(t, \theta)\\ y(t, \theta)\\z(t, \theta) \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} a\cos(\theta)\\ b\sin(\theta)\\ 0 \end{matrix}\right] + t \left[\begin{matrix} -b\sin(\theta)\\a\cos(\theta)\\ \pm c \end{matrix} \right].}\)

gecov
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 8 cze 2019, o 20:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Re: Prostokreślność hiperboloidy

Post autor: gecov » 9 cze 2019, o 11:55

Tak, to obliczyłem i wydaje się to być proste i logiczne. Dla obrotowej mamy dwie parametryzacje zatem powierzchnia ta jest prostokreślna.

Znalazłem coś takiego(podpunkt b)):
https://www.mathcurve.com/surfaces.gb/h ... oid1.shtml

Czy to jest dla a=b?

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4967
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna

Re: Prostokreślność hiperboloidy

Post autor: janusz47 » 9 cze 2019, o 12:47

Parametryzacje w różnych układach odniesienia, krzywizny, kierunki (proste) asymptotyczne hiperboloidy jednopowłokowej dla \(\displaystyle{ a\neq b \neq c.}\)

ODPOWIEDZ