Prostokreślność hiperboloidy

Sześciany. Wielościany. Kule. Inne bryły. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa w przestrzeni.
gecov
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 8 cze 2019, o 20:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Prostokreślność hiperboloidy

Post autor: gecov » 8 cze 2019, o 21:00

Witam, mam pytanie na temat hiperboloidy jednopowłokowej. Czy każda hiperboloida jednopowłokowa jest prostokreślna? Mam tu na myśli powierzchnię nie obrotową
Czyli dla takiego równania:
\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1\), gdzie \(a \neq b\)

Zakładam, że tak i próbuję to udowodnić. Korzystam z definicji prostokreślności:
https://pl.wikipedia.org/wiki/Powierzch ... stokreślna

Rozumiem że \(\beta\) to kierownica a \(\gamma\) to kierunek prostej czyli to można zapisać w postaci:

\(\begin{cases} x(u,v)=\beta_1(u)+v \cdot \gamma_1(u)\\ y(u,v)=\beta_2(u)+v \cdot \gamma_2(u) \\ z(u,v)= \beta_3(u)+v \cdot \gamma_3(u) \end{cases}\)

Zacząłem od przekroju płaszczyzną OXY dla \(z = 0\) i otrzymałem elipsę. Wziąłem jej parametryzację i jest to moje szukane \(\beta\) (\(z=0\)). Dalej zapisałem równanie prostej zawartej w tej powierzchni:
\(\begin{cases} x(u,v) = a \cdot \cos (u) + \gamma_1 (u) \cdot t\\ y(u,v)= b \cdot \sin (u) + \gamma_2 (u) \cdot t \\ z(u,v)= \gamma_3(u) \cdot t \end{cases}\)
Podstawiłem to tego wzoru hiper. jedn. i otrzymałem równość i ma to być spełnione dla wszystkich \(a,b\) i \(c\). Czyli nieskończenie wiele rozwiązań, zatem \(0 = 0\). Stąd powstaje mi nowy układ równań z 3 niewiadomymi. Niewiadomymi są \(\gamma _1 , \gamma _2 , \gamma _3.\)

Wpadłem na pomysł skalowania wektora \(\gamma\) ( nie wiem właśnie czy można?) i podstawiłem \(\gamma _3 =1\). Czy jest to poprawne ? Bo otrzymałem rozwiązanie, podstawiłem do maximy i nie wychodzi z tego hiperboloida :/ Wydaje mi się że albo źle rozumiem definicję prostokreślności albo nie można skalować wektora \(\gamma\)
Ostatnio zmieniony 8 cze 2019, o 21:05 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Symbol mnożenia to \cdot. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.

kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6289
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów

Re: Prostokreślność hiperboloidy

Post autor: kruszewski » 8 cze 2019, o 22:30

Może na początek zrobić model jak tu:
https://www.google.pl/search?q=hiperbol ... TXgsQVQfGM:

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4967
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna

Re: Prostokreślność hiperboloidy

Post autor: janusz47 » 8 cze 2019, o 23:37

Rys.

Równania parametryczne hiperboloidy

\(x(u, \phi)=..., \ \ y(u,\phi)=..., \ \ z(u,\phi)=..., \ \ u\in R, \ \ \phi \in [0, 2\pi].\)

Z równania ogólnego hiperboloidy jednopowłokowej i rysunku wynika, że proste, których szukamy- muszą wychodzić z elipsy

\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}= 1\) leżącej w płaszczyźnie \(z =0.\)

Jest to elipsa największego przewężenia hiperboloidy. Jeśli tak, to znaczy znaleźliśmy krzywą, która jest kierownicą badanej powierzchni.

Wykorzystując równanie:

\(r(u,v) = \vec{\alpha}(u) +v\vec{\beta}(u)\)

Krzywa \(\vec{\alpha}u\) nosi nazwę kierownicy, a prosta, która "patrzy" w kierunku \(\vec{\beta}u\) - prostej tworzącej danej powierzchni.

możemy napisać

\(\vec{\alpha}(\theta) = \left[\begin{matrix} a\cos(\theta)\\ b\sin(\theta)\\ 0 \end{matrix}\right]\)

Musimy znaleźć jeszcze współrzędne wektora \(\vec{\beta}.\)

Wprowadzając oznaczenia \(\vec{\beta} = [ d \ \ e \ \ f ] ^{T}\), stwierdzamy, że będzie spełnione równanie:

\(\vec{r}(\theta, t)} = \left[ \begin{matrix}x(t, \theta)\\ y(t, \theta)\\z(t, \theta) \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} a\cos(\theta)\\ b\sin(\theta)\\ 0 \end{matrix}\right] + t \left[\begin{matrix} d\\e\\ f \end{matrix} \right] \ \ (1)\)

Proszę tak dobrać liczby \(d, e, f\) aby równanie (1) stanowiło parametryzację hiperboloidy.

Należy zauważyć, że szukana prosta ( a zatem także wektor \(\vec{\beta})\)

w punkcie, w którym przecina ona kierownicę czyli w \((a\cos(\theta), b\sin(\theta), 0)\)

musi być prostopadła do wektora współrzędnych:

\([a\cos(\theta), \ \ b\sin(\theta), \ \ 0].\)

Wynika to z symetrii bryły przy odbiciu \(z \rightarrow -z.\)

Musi więc zachodzić równanie

\(\vec{\beta}\cdot [a\cos(\theta), \ \ b\sin(\theta), \ \ 0] = 0\)

Wybieramy \(d= ..., \ \ e = ....\)

Wartość liczby \(f\) znajdujemy z warunku, że współrzędne \(x, y, z\) spełniają równanie ....

Ten wymóg pozwoli nam ustalić wartość parametru \(c,\) z którego po prostych przekształceniach wynika, że \(f^2 = ...\) czyli \(f = ...\)

Znaleźliśmy dwie różne parametryzacje prostokreślne

\(\vec{r}(\theta, t) =...\)

Hiperboloida jednopowłokowa okazała się powierzchnią podwójnie prostokreślną .

gecov
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 8 cze 2019, o 20:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Re: Prostokreślność hiperboloidy

Post autor: gecov » 9 cze 2019, o 00:46

Oj dziękuję za taką wielką pomoc. Nie spodziewałem się aż takiej wielkiej podpowiedzi.
Mam pytanie bo robiłem identycznie aż do momentu przedstawienia równania (1). W tym momencie zapisałem układ równań i wstawiłem go do równania hiperboloidy. Następnie chciałem uprościć wyrażenie wyciągająć parametr t przed nawias.
Otrzymałem w ten sposób:
\(t^2(...)+t(...)=0\)
I równanie to jeżeli jest spełnione dla każdego a,b i c to jest spełnione dla każdej hiperboloidy.
Więc powstaje mi nowy układ równań gdzie oba nawiasy są równe zeru. Da się z tego coś dalej zrobić? bo mam 3 niewiadome i dwa równania. Niewiadome to odpowiedniki u Pana d, e i f.
Dziękuję raz jeszcze

-- 9 cze 2019, o 02:15 --

Nie wiem czy coś źle robię czy jak. Pewnie nie widzę jakiegoś prostego przejścia.
Podstawiłem do równania hiperboloidy :
\(\left[\begin{matrix} a\cos(\theta)\\ b\sin(\theta)\\ 0 \end{matrix}\right] + t \left[\begin{matrix} d\\e\\ f \end{matrix} \right]\)
i otrzymałem równanie:
\(t^2(\frac{d^2}{a^2}+\frac{e^2}{b^2}-\frac{f^2}{c^2})=0\)-- 9 cze 2019, o 02:34 --Jednak to co napisałem nie ma sensu, miałem błąd w przekształceniu.
Zatrzymałem się na wyznaczeniu d i e. Dochodzę do takiego "czegoś":
\(\begin{cases}t^2(\frac{d^2}{a^2}+\frac{e^2}{b^2}-\frac{f^2}{c^2})+2t(\frac{d\cdot\cos(u)}{a}+\frac{e\cdot\sin(u)}{b})=0\\ ad\cos(u)=-be\sin(u) \end{cases}\)

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4967
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna

Prostokreślność hiperboloidy

Post autor: janusz47 » 9 cze 2019, o 09:02

\(\vec{\beta}\cdot [a\cos(\theta), \ \ b\sin(\theta) \ \ 0] = 0\)

\([ d \ \ e \ \ f]\cdot [a\cos(\theta) \ \ b\sin(\theta) \ \ 0] = 0\)

\(d\cdot a\cos(\theta) + b\cdot e\sin(\theta) = 0.\)

Stąd

\(d = -b\sin(\theta), \ \ e = a\cos(\theta) \ \ (2)\)

Inny wybór parametrów \(a, b\) prowadzi jedynie do przeskalowania \(t.\)

Współrzędne \(x, y, z\) spełniają równanie hiperboli

Po podstawieniu \((2)\), otrzymujemy równanie:

\([a\cos(\theta) - t\cdot b\sin(\theta)]^2 +[b\sin(\theta)+ t\cdot a\cos(\theta)]^2 - t^2\cdot f^2 = 1.\)

Proszę wyznaczyć z tego równania wartość parametru \(f.\)

-- 9 cze 2019, o 10:41 --

Jaki możemy wyciągnąć wniosek z rozwiązania tego równania na wartość parametru \(f?\)-- 9 cze 2019, o 10:47 --Dla jakich wartości parametrów \(a, b, c\) hiperbola jednopowłokowa jest powierzchnią podwójnie dwukreślną?

gecov
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 8 cze 2019, o 20:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Prostokreślność hiperboloidy

Post autor: gecov » 9 cze 2019, o 10:51

W tym ostatnim równaniu nie brakuje dzielenia przez kolejno \(a^2, b^2\) i \(c^2\)?

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4967
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna

Prostokreślność hiperboloidy

Post autor: janusz47 » 9 cze 2019, o 11:08

Brakuje.

\(\frac{[a\cos(\theta) - t\cdot b\sin(\theta)]^2}{a^2} +\frac{[b\sin(\theta)+ t\cdot a\cos(\theta)]^2}{b^2} - \frac{t^2\cdot f^2}{c^2} =1.\)

Da jakich wartości \(a, b , c\) istnieje jednoznacznie wyznaczona (niezależna od t ) wartość \(f\) i ile ona wynosi?

gecov
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 8 cze 2019, o 20:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Re: Prostokreślność hiperboloidy

Post autor: gecov » 9 cze 2019, o 11:36

Czy aby na pewno hiperboloida jednopowłokowa (dla \(a \neq b\)) jest prostokreślna? Bo nie znalazłem na internecie jej parametryzacji, tylko i wyłącznie znalazłem dla obrotowej.-- 9 cze 2019, o 11:40 --Zatrzymuje się na równaniu takim, gdzie dla a=b równanie rozwiązuje się samo. Dla różnych jest już ciężej.

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4967
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna

Prostokreślność hiperboloidy

Post autor: janusz47 » 9 cze 2019, o 11:50

Tylko hiperboloida kołowa \(a = b\) jest prostokreślna.

Wtedy z ostatniego równania wynika, że wartość \(f = \pm c.\)

Mamy dwie różne parametryzacje prostokreślne

\(\vec{r}(\theta, t)} = \left[ \begin{matrix}x(t, \theta)\\ y(t, \theta)\\z(t, \theta) \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} a\cos(\theta)\\ b\sin(\theta)\\ 0 \end{matrix}\right] + t \left[\begin{matrix} -b\sin(\theta)\\a\cos(\theta)\\ \pm c \end{matrix} \right].\)

gecov
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 8 cze 2019, o 20:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Re: Prostokreślność hiperboloidy

Post autor: gecov » 9 cze 2019, o 11:55

Tak, to obliczyłem i wydaje się to być proste i logiczne. Dla obrotowej mamy dwie parametryzacje zatem powierzchnia ta jest prostokreślna.

Znalazłem coś takiego(podpunkt b)):
https://www.mathcurve.com/surfaces.gb/h ... oid1.shtml

Czy to jest dla a=b?

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4967
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna

Re: Prostokreślność hiperboloidy

Post autor: janusz47 » 9 cze 2019, o 12:47

Parametryzacje w różnych układach odniesienia, krzywizny, kierunki (proste) asymptotyczne hiperboloidy jednopowłokowej dla \(a\neq b \neq c.\)

ODPOWIEDZ