Matematyka.pl

Stosunek pola powierzchni bocznej stożka do pola powierzchni kuli opisanej na tym stożku wynosi \(\displaystyle{ 3:8.}\) Wyznacz miarę kąta rozwarcia tego stożka.

\(\displaystyle{ \frac{ \pi rl}{4 \pi R ^{2} } = \frac{3}{8} \\
\frac{rl}{4R ^{2} }= \frac{3}{8}}\)
gdzie \(\displaystyle{ r}\)-promień podstawy stożka, \(\displaystyle{ R}\)-promień kuli, \(\displaystyle{ l}\)-tworząca stożka
\(\displaystyle{ \frac{2r}{\sin \alpha } =2R \\
r=R\sin \alpha}\)
Nic więcej mi nie przychodzi do głowy.

trójkąt w okręgu jest równoramienny.
szukamy kąta: \(\displaystyle{ \sin{ \alpha } = \frac{r}{R} \,\,\,}\), który jest dwukrotnie większy od kąta między tworzącą stożka i jego wysokością.
\(\displaystyle{ \cos{ \frac{\alpha}{2}} = \frac{\frac{l}{2}}{R} \,\,\,}\),

rozwiązujesz równanie: \(\displaystyle{ 8 k^{3} + 8 k -3 \,\,\,}\), gdzie \(\displaystyle{ \sin{ \alpha } = k}\)

[/url]
Przyjmijmy, że kąt \(\displaystyle{ ACD}\) ma miarę \(\displaystyle{ \alpha}\)
\(\displaystyle{ \frac{r}{l} =\sin \alpha \Rightarrow l=\frac{r}{\sin \alpha }}\)
Kąt \(\displaystyle{ AOD}\) jest to kąt środkowy i ma miarę \(\displaystyle{ 2 \alpha}\)

\(\displaystyle{ \frac{r}{R}=\sin2 \alpha \Rightarrow r=R\sin2 \alpha \Rightarrow l=2R\cos \alpha}\)

\(\displaystyle{ \frac{\pi rl}{4\pi R^2}= \frac{rl}{4R^2}= \sin \alpha \cos^2 \alpha = \frac{3}{8}}\)

\(\displaystyle{ 8\sin^3 \alpha -8\sin \alpha +3=0}\)

\(\displaystyle{ \sin \alpha = \frac{1}{2} \Rightarrow 2 \alpha = \frac{\pi}{3}}\)

\(\displaystyle{ \frac{\pi rl}{4\pi R^2} = \frac{3}{8}}\)

\(\displaystyle{ \frac{rl}{R^2} = \frac{3}{2}}\)

Teraz zauważmy, że przekrój stożka to trójkąt równoramienny, o kącie rozwarcia \(\displaystyle{ \alpha}\). Możemy z danego kąta poprowadzić wysokość przez co dostaniemy trójkąt prostokąny o jednym z kątów \(\displaystyle{ \frac{\alpha}{2}}\), jednej przyprostokątnej o długości \(\displaystyle{ r}\) i przeciwprostokątnej o długości \(\displaystyle{ l}\). Co daje nam:

\(\displaystyle{ \sin{\frac{\alpha}{2}} = \frac{r}{l}}\)

\(\displaystyle{ r = l\sin{\frac{\alpha}{2}}}\)

Podstawiając:

\(\displaystyle{ \frac{l^2\sin{\frac{\alpha}{2}}}{R^2}=\frac{3}{2}}\)

Wiedząc, że \(\displaystyle{ R^2 = \frac{l^4}{4h^2}}\):

\(\displaystyle{ \frac{h^2\sin{\frac{\alpha}{2}}}{l^2}=\frac{3}{8}}\)

Mamy \(\displaystyle{ h}\) , które jest drugą przyprostokątną wcześniej wspomnianego trójkąta prostokątnego oraz jego przeciwprostokątną, więc:

\(\displaystyle{ \cos^2{\frac{\alpha}{2}}\sin{\frac{\alpha}{2}}=\frac{3}{8}}\)

Z podwojonego kąta:

\(\displaystyle{ \cos{\frac{\alpha}{2}}\sin{\alpha}=\frac{3}{4}}\)

Nie wiem jak to dalej można by policzyć, ale jedynym rozwiązaniem w odpowiednim zakresie kątą jest \(\displaystyle{ \frac{\pi}{3}}\)

Zauważmy, że \(\displaystyle{ |AC| = 2 \cdot |R \cos \frac{ \alpha }{2}|}\)
odległość środka pobocznicy \(\displaystyle{ AC}\) od osi stożka (osi obrotu odcinka \(\displaystyle{ AC}\))
\(\displaystyle{ |\rho| = |R \tg \frac{ \alpha }{2}|}\)
Z tw. Pappusa - Guldina:
Pole pobocznicy: \(\displaystyle{ |A_p| = 2 \pi |\rho| \cdot |AC| = 2 \pi |R \tg \frac{ \alpha }{2} \cdot 2 |R \cos \frac{ \alpha }{2} =4 |R^2 \sin \frac{ \alpha }{2} |}\)
Pole sfery: \(\displaystyle{ A_s = 4 \pi R^2}\)
stąd: \(\displaystyle{ \frac{A_p}{A_s}= \sin \frac{ \alpha }{2} = \frac{3}{8}}\)

zatem: \(\displaystyle{ \angle \alpha = 2 \cdot \arcsin \frac{3}{8}}\)

Idea jest poprawna, ale rachunki proszę sprawdzić.