Stosunek pola powierzchni bocznej stożka do pola powierzchni

Sześciany. Wielościany. Kule. Inne bryły. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa w przestrzeni.
Michal2115
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 110
Rejestracja: 19 lut 2019, o 17:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Stosunek pola powierzchni bocznej stożka do pola powierzchni

Post autor: Michal2115 » 7 kwie 2019, o 23:56

Stosunek pola powierzchni bocznej stożka do pola powierzchni kuli opisanej na tym stożku wynosi \(3:8.\) Wyznacz miarę kąta rozwarcia tego stożka.

\(\frac{ \pi rl}{4 \pi R ^{2} } = \frac{3}{8} \\ \frac{rl}{4R ^{2} }= \frac{3}{8}\)
gdzie \(r\)-promień podstawy stożka, \(R\)-promień kuli, \(l\)-tworząca stożka
\(\frac{2r}{\sin \alpha } =2R \\ r=R\sin \alpha\)
Nic więcej mi nie przychodzi do głowy.
Ostatnio zmieniony 8 kwie 2019, o 01:24 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.

florek177
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3014
Rejestracja: 23 mar 2005, o 10:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdynia

Re: Stosunek pola powierzchni bocznej stożka do pola powierz

Post autor: florek177 » 8 kwie 2019, o 11:22

trójkąt w okręgu jest równoramienny.
szukamy kąta: \(\sin{ \alpha } = \frac{r}{R} \,\,\,\), który jest dwukrotnie większy od kąta między tworzącą stożka i jego wysokością.
\(\cos{ \frac{\alpha}{2}} = \frac{\frac{l}{2}}{R} \,\,\,\),

rozwiązujesz równanie: \(8 k^{3} + 8 k -3 \,\,\,\), gdzie \(\sin{ \alpha } = k\)

Awatar użytkownika
Kfadrat
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 99
Rejestracja: 25 paź 2018, o 17:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Śląsk

Re: Stosunek pola powierzchni bocznej stożka do pola powierz

Post autor: Kfadrat » 8 kwie 2019, o 11:31


Przyjmijmy, że kąt \(ACD\) ma miarę \(\alpha\)
\(\frac{r}{l} =\sin \alpha \Rightarrow l=\frac{r}{\sin \alpha }\)
Kąt \(AOD\) jest to kąt środkowy i ma miarę \(2 \alpha\)

\(\frac{r}{R}=\sin2 \alpha \Rightarrow r=R\sin2 \alpha \Rightarrow l=2R\cos \alpha\)

\(\frac{\pi rl}{4\pi R^2}= \frac{rl}{4R^2}= \sin \alpha \cos^2 \alpha = \frac{3}{8}\)

\(8\sin^3 \alpha -8\sin \alpha +3=0\)

\(\sin \alpha = \frac{1}{2} \Rightarrow 2 \alpha = \frac{\pi}{3}\)

HelperNES
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 67
Rejestracja: 2 lut 2017, o 10:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Stęszew

Re: Stosunek pola powierzchni bocznej stożka do pola powierz

Post autor: HelperNES » 8 kwie 2019, o 11:35

\(\frac{\pi rl}{4\pi R^2} = \frac{3}{8}\)

\(\frac{rl}{R^2} = \frac{3}{2}\)

Teraz zauważmy, że przekrój stożka to trójkąt równoramienny, o kącie rozwarcia \(\alpha\). Możemy z danego kąta poprowadzić wysokość przez co dostaniemy trójkąt prostokąny o jednym z kątów \(\frac{\alpha}{2}\), jednej przyprostokątnej o długości \(r\) i przeciwprostokątnej o długości \(l\). Co daje nam:

\(\sin{\frac{\alpha}{2}} = \frac{r}{l}\)

\(r = l\sin{\frac{\alpha}{2}}\)

Podstawiając:

\(\frac{l^2\sin{\frac{\alpha}{2}}}{R^2}=\frac{3}{2}\)

Wiedząc, że \(R^2 = \frac{l^4}{4h^2}\):

\(\frac{h^2\sin{\frac{\alpha}{2}}}{l^2}=\frac{3}{8}\)

Mamy \(h\) , które jest drugą przyprostokątną wcześniej wspomnianego trójkąta prostokątnego oraz jego przeciwprostokątną, więc:

\(\cos^2{\frac{\alpha}{2}}\sin{\frac{\alpha}{2}}=\frac{3}{8}\)

Z podwojonego kąta:

\(\cos{\frac{\alpha}{2}}\sin{\alpha}=\frac{3}{4}\)

Nie wiem jak to dalej można by policzyć, ale jedynym rozwiązaniem w odpowiednim zakresie kątą jest \(\frac{\pi}{3}\)

kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6289
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów

Re: Stosunek pola powierzchni bocznej stożka do pola powierz

Post autor: kruszewski » 8 kwie 2019, o 14:45

Zauważmy, że \(|AC| = 2 \cdot |R \cos \frac{ \alpha }{2}|\)
odległość środka pobocznicy \(AC\) od osi stożka (osi obrotu odcinka \(AC\))
\(|\rho| = |R \tg \frac{ \alpha }{2}|\)
Z tw. Pappusa - Guldina:
Pole pobocznicy: \(|A_p| = 2 \pi |\rho| \cdot |AC| = 2 \pi |R \tg \frac{ \alpha }{2} \cdot 2 |R \cos \frac{ \alpha }{2} =4 |R^2 \sin \frac{ \alpha }{2} |\)
Pole sfery: \(A_s = 4 \pi R^2\)
stąd: \(\frac{A_p}{A_s}= \sin \frac{ \alpha }{2} = \frac{3}{8}\)

zatem: \(\angle \alpha = 2 \cdot \arcsin \frac{3}{8}\)

Idea jest poprawna, ale rachunki proszę sprawdzić.

ODPOWIEDZ