Matematyka.pl

Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość a. Najdłuższa przekątna graniastosłupa jest cztery razy dłuższa od najkrótszej przekątnej podstawy. Oblicz obj. graniastosłupa.

Dłuższa przekątna podstawy:
\(\displaystyle{ d _{1} =2a}\)
Krótsza przekątna podstawy:
\(\displaystyle{ d _{2} =a \sqrt{3}}\)

No i nie mam do końca pomysłu co dalej.

Mam jeszcze jedno pytanie, czy jest jakiś wzór na przekątną graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego? Pytam gdyż szukając odpowiedzi na forach dwa razy napotkałem się ze wzorem
\(\displaystyle{ p=4a \sqrt{3}}\)
Gdzie p jest przekątną.

Michal2115 pisze:Mam jeszcze jedno pytanie, czy jest jakiś wzór na przekątną graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego?

Zauważ, że taki wzór powinien uwzględniać wysokość graniastosłupa. Można go wyprowadzić. Dla graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego o krawędzi podstawy \(\displaystyle{ a}\) i wysokości \(\displaystyle{ h}\) dłuższa przekątna to: \(\displaystyle{ \sqrt{4a^2+h^2}}\) , a krótsza przekątna to: \(\displaystyle{ \sqrt{3a^2+h^2}}\)

Michal2115 pisze:Mam jeszcze jedno pytanie, czy jest jakiś wzór na przekątną graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego? Pytam gdyż szukając odpowiedzi na forach dwa razy napotkałem się ze wzorem
\(\displaystyle{ p=4a \sqrt{3}}\)
Gdzie p jest przekątną.

Pewnie znalazłeś rozwiązania tego zadania. Podana długość przekątnej wynika z treści zadania: Najdłuższa przekątna graniastosłupa jest cztery razy dłuższa od najkrótszej przekątnej podstawy. Stąd:
\(\displaystyle{ p=4 \cdot d_2=4 \cdot a \sqrt{3}}\)

Michal2115 pisze:
Dłuższa przekątna podstawy:
\(\displaystyle{ d _{1} =2a}\)
Krótsza przekątna podstawy:
\(\displaystyle{ d _{2} =a \sqrt{3}}\)

No i nie mam do końca pomysłu co dalej.

Wylicza się wysokość z przekroju przechodzącego przez dłuższą przekątną podstawy i dłuższą przekątną graniastosłupa.
\(\displaystyle{ (2a)^2 +h^2=(4 \sqrt{3}a)^2\\
h=2 \sqrt{11}a\\
V=P_p \cdot h=(6 \cdot \frac{a^2 \sqrt{3} }{4} ) \cdot (2 \sqrt{11}a)=3 \sqrt{33}a^3}\)

Omg, ja myślałem że podali, że najdłuższa przekątna podstawy jest 4x dłuższa od najkrótszej przekątnej podstawy, a to najdłuższa przekątna sześciokąta. Teraz wszystko jasne, dzieki Kerajs! Rozwiązałem