Krawędź podstawy graniastosłupa

Sześciany. Wielościany. Kule. Inne bryły. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa w przestrzeni.
Michal2115
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 105
Rejestracja: 19 lut 2019, o 17:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 24 razy

Krawędź podstawy graniastosłupa

Post autor: Michal2115 » 18 mar 2019, o 01:54

Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość a. Najdłuższa przekątna graniastosłupa jest cztery razy dłuższa od najkrótszej przekątnej podstawy. Oblicz obj. graniastosłupa.

Dłuższa przekątna podstawy:
\(\displaystyle{ d _{1} =2a}\)
Krótsza przekątna podstawy:
\(\displaystyle{ d _{2} =a \sqrt{3}}\)

No i nie mam do końca pomysłu co dalej.

Mam jeszcze jedno pytanie, czy jest jakiś wzór na przekątną graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego? Pytam gdyż szukając odpowiedzi na forach dwa razy napotkałem się ze wzorem
\(\displaystyle{ p=4a \sqrt{3}}\)
Gdzie p jest przekątną.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7376
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 213 razy
Pomógł: 2912 razy

Krawędź podstawy graniastosłupa

Post autor: kerajs » 18 mar 2019, o 08:16

Michal2115 pisze:Mam jeszcze jedno pytanie, czy jest jakiś wzór na przekątną graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego?
Zauważ, że taki wzór powinien uwzględniać wysokość graniastosłupa. Można go wyprowadzić. Dla graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego o krawędzi podstawy \(\displaystyle{ a}\) i wysokości \(\displaystyle{ h}\) dłuższa przekątna to: \(\displaystyle{ \sqrt{4a^2+h^2}}\) , a krótsza przekątna to: \(\displaystyle{ \sqrt{3a^2+h^2}}\)
Michal2115 pisze:Mam jeszcze jedno pytanie, czy jest jakiś wzór na przekątną graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego? Pytam gdyż szukając odpowiedzi na forach dwa razy napotkałem się ze wzorem
\(\displaystyle{ p=4a \sqrt{3}}\)
Gdzie p jest przekątną.
Pewnie znalazłeś rozwiązania tego zadania. Podana długość przekątnej wynika z treści zadania: Najdłuższa przekątna graniastosłupa jest cztery razy dłuższa od najkrótszej przekątnej podstawy. Stąd:
\(\displaystyle{ p=4 \cdot d_2=4 \cdot a \sqrt{3}}\)
Michal2115 pisze:
Dłuższa przekątna podstawy:
\(\displaystyle{ d _{1} =2a}\)
Krótsza przekątna podstawy:
\(\displaystyle{ d _{2} =a \sqrt{3}}\)

No i nie mam do końca pomysłu co dalej.
Wylicza się wysokość z przekroju przechodzącego przez dłuższą przekątną podstawy i dłuższą przekątną graniastosłupa.
\(\displaystyle{ (2a)^2 +h^2=(4 \sqrt{3}a)^2\\ h=2 \sqrt{11}a\\ V=P_p \cdot h=(6 \cdot \frac{a^2 \sqrt{3} }{4} ) \cdot (2 \sqrt{11}a)=3 \sqrt{33}a^3}\)

Michal2115
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 105
Rejestracja: 19 lut 2019, o 17:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 24 razy

Re: Krawędź podstawy graniastosłupa

Post autor: Michal2115 » 18 mar 2019, o 11:52

Omg, ja myślałem że podali, że najdłuższa przekątna podstawy jest 4x dłuższa od najkrótszej przekątnej podstawy, a to najdłuższa przekątna sześciokąta. Teraz wszystko jasne, dzieki Kerajs! Rozwiązałem

ODPOWIEDZ