Stosunek objętości granistosłupów

Sześciany. Wielościany. Kule. Inne bryły. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa w przestrzeni.
matematykipatyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 199
Rejestracja: 12 mar 2018, o 15:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wejherowo

Stosunek objętości granistosłupów

Post autor: matematykipatyk » 11 mar 2019, o 14:44

Daną kulę można wpisać w pewien graniastosłup prawidłowy trójkątny oraz pewien graniastosłup prawidłowy czworokątny. Uzasadnij , że stosunek objętości tych graniastosłupów jest równy \(\displaystyle{ \frac{3 \sqrt{3} }{4}}\).

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7144
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna

Re: Stosunek objętości granistosłupów

Post autor: kerajs » 11 mar 2019, o 15:15

Przy równych wysokościach ten stosunek to stosunek pól podstaw.
Trójkąt równoboczny ma taki bok \(\displaystyle{ a}\) że: \(\displaystyle{ R=\frac{1}{3} \frac{a \sqrt{3} }{2} \Rightarrow a=2 \sqrt{3} R}\)
Bok kwadratu to \(\displaystyle{ 2R}\)
\(\displaystyle{ \frac{V_3}{V_4}= \frac{P_3 \cdot h}{P_4 \cdot h}= \frac{ \frac{a^2 \sqrt{3} }{4} }{4R^2} = \frac{ \frac{(2 \sqrt{3} R)^2 \sqrt{3} }{4} }{4R^2}= \frac{3 \sqrt{3} }{4}}\)

ODPOWIEDZ