Promień kuli wpisanej w czworościany

[matematykipatyk]

a)Oblicz promień kuli wpisanej w czworościan prawidłowy.
b)Oblicz promień kuli wpisanej w czworościan którego podstawą jest trójkąt równoboczny o boku \(\displaystyle{ a}\), a długość krawędzi bocznych jest równa \(\displaystyle{ 2a}\).
ad a) z Twierdzenia Pitagorasa obliczamy, że wysokość czworościanu jest równa \(\displaystyle{ H= frac{ sqrt{6} }{3}a}\). Wysokości dzielą się w stosunku 1:3 czyli promień kuli jest równy \(\displaystyle{ H= frac{ sqrt{6} }{12}a}\). Chciałbym umieć jednak to policzyć z tych rysunków które są w linku. Tym bardziej że tego rozumowania nie można powtórzyć w przypadku czworościanu z pkt b.
ad b) ...

Przekroje osiowe czworościanów:


Nie chciałbym tez tego liczyć tak jak w przypadku tego posta 437979.htm .Na pewno da się to zrobić w bardziej inteligentny sposób.

[piasek101]

a) ,,czworościanów prawidłowych" są nieskończone ilości - nie da się jednoznacznie rozwiązać takiego zadania. Chodziło o inny.

b) zaraz popatrzę i odpowiem.
[edit] Oba tak samo ((a) po poprawieniu treści) \(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}P\cdot r}\) (gdzie V - objętość czworościanu lub innego wielościanu,w który da się wpisać kulę; P - pole bryły;
r - szukany promień kuli).

nie istnieje pojęcie ,,przekrój osiowy czworościanu".

[matematykipatyk]

Faktycznie bardzo nieuważnie napisałem tego posta. Już poprawiam.
ad a) miałem na myśli wielościan foremny
ad b) Skąd taki wzór \(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}P\cdot r}\). Czy \(\displaystyle{ P}\) to pole powierznchi całkowitej wielościanu?

nie istnieje pojęcie ,,przekrój osiowy czworościanu".

No fakt . Miałem na myśli część wspólną czworościanu i płaszczyzny przechodzącej przez wysokość podstawy i wierzchołek czworościanu.

[piasek101]

a) b) z tej samej zależności.
Tak (P) to pole całkowite (,,pole bryły" to to samo).

Skąd wzór. Objętość wielościanu, w który da się wpisać kulę, to suma objętości ostrosłupów - których podstawami są ściany wielościanu, a ich wysokości są równe promieniowi kuli.