Zmiana rozwartości kąta - jaka zmiana pola ??

Sześciany. Wielościany. Kule. Inne bryły. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa w przestrzeni.
Kasik
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 25 lut 2005, o 19:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: stąd

Zmiana rozwartości kąta - jaka zmiana pola ??

Post autor: Kasik »

Proszę o pomoc w rozwiązaniu następującego zadania:

Zad:
W przekroju osiowym kąt między tworząca a wysokością ma miarę 60 stopni. Jakie będzie pole powierzchni przekroju gdy między tworzącymi będzie miał miarę 90 stopni.
Rogal
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5405
Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: a z Limanowej
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 422 razy

Zmiana rozwartości kąta - jaka zmiana pola ??

Post autor: Rogal »

Sprawa jest dość prosta. Pole trójkąta równoramiennego o kącie w wierzchołku równym 60 stopni wyraża się wzorem:

\(\displaystyle{ P=\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}}\)

Gdzie l to oczywiście tworząca, a sam trójkąt tak w ogóle jest równoboczny.

Jeżeli teraz kąt będzie wynosił 90 stopni, to pole wyrazi się wzorem:

\(\displaystyle{ P=\frac{l^{2}}{2}}\)

A sam trójkąt jest prostokątny równoramienny.

Jeżeli teraz chcemy te pola porównać w jakiś sposób, jak się zmieniają, to wyznaczymy różnicę i iloraz ich.
Różnica:

\(\displaystyle{ \frac{l^{2}}{2}-\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4} = \frac{2l^{2}-l^{2}\sqrt{3}}{4} = l^{2}\cdot \frac{2-\sqrt{3}}{4}}\)

Iloraz:

\(\displaystyle{ \large \frac{\frac{l^{2}}{2}}{\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{4}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}}\)

To raczej powinno wystarczyć. Ogólnie pole takiego trójkąta zmienia się jak sinus kąta w wierzchołku.
Awatar użytkownika
olazola
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 811
Rejestracja: 21 paź 2004, o 13:55
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Sopot
Pomógł: 36 razy

Zmiana rozwartości kąta - jaka zmiana pola ??

Post autor: olazola »

Kasik pisze:Zad:
W przekroju osiowym kąt między tworząca a wysokością ma miarę 60 stopni.
Rogal, w swoich rozważaniach przyjąłeś, że kąt międy tworzącymi ma 60 stopni.
Awatar użytkownika
Zlodiej
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1910
Rejestracja: 28 cze 2004, o 12:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 108 razy

Zmiana rozwartości kąta - jaka zmiana pola ??

Post autor: Zlodiej »

Na początku:
Korzystając z własności trójkąta 90,60,30 stopni mamy:
Podstawa przekroju to 2r, wysokość przekroju to \(\displaystyle{ h=\frac{r\sqrt{3}}{3}}\). Dlatego pole jest równe \(\displaystyle{ S_1=\frac{r^2\sqrt{3}}{3}}\)

Po zmianie kąta mamy:
Zauważ, że jeśli kąt pomiędzy tworzacymi ma miare 90 stopni, to przekrojem osiowym jest trójkąt prostokątny czy też połowa kwadratu o przekatnej 2r czyli boku \(\displaystyle{ l=r\sqrt{2}}\). Dlatego pole tegoś trójkąta (przekroju) będzie równe \(\displaystyle{ S_2=r^2=S_1\sqrt{3}}\)
Rogal
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5405
Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: a z Limanowej
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 422 razy

Zmiana rozwartości kąta - jaka zmiana pola ??

Post autor: Rogal »

Racja oczywiście. Zasugerowałem się tą zmianą kąta i przeniosłem to na pierwszy kąt. Ale pole drugiego policzyłem dobrze
ODPOWIEDZ