Mam problem odnośnie wyprowadzenia objętości stożka (stosując sumowanie walców). Przyjmując takie oznaczenia jak na stronie , a mianowicie (u mnie małe h to cała wysokość):
- AU
- pm22.png (28.61 KiB) Przejrzano 171 razy
Próbuję obliczyć objętość stożka jako sumę walców (autorzy z podanego linka nie używają sigmy, prawdopodobnie stąd wynikać może błąd :p).
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} \left( \pi r_k^2 \frac{h}{n} \right) = \sum_{k=1}^{n} \left( \pi R^2 \left( 1- \frac{k}{k} \right) ^2 \frac{h}{n}\right)= \\=\pi R^2 \cdot \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{h}{n} \left( 1-\frac{2k}{k} + \frac{k^2}{k^2} \right) \right) = \\
=\pi R^2 \frac{h}{n} \cdot \sum_{k=1}^{n} \left( 1 - \frac{2k}{k} + \frac{k^2}{k^2} \right) = \pi R^2 \frac{h}{n} \left( n - \frac{n \left( n+1 \right) }{n} + \frac{n \left( n+1 \right) \left( 2n+1 \right) }{6n^2} \right) = \\
= \pi R^2 h \left( -\frac{1}{n} + \frac{ \left( n+1 \right) \left( 2n+1 \right) }{6n^2} \right) \mathop{\longrightarrow}_{n \to \infty} = \frac{1}{3} \pi R^2 h}\)
Po otrzymaniu równania z prawej strony w 2 linijce wszystko wychodzi pięknie i zrozumiale. Nie rozumiem tylko w jaki sposób w mianowniku zostaje odpowiednio \(\displaystyle{ n}\) i \(\displaystyle{ 6n^2}\)? Suma z \(\displaystyle{ 2k}\) daje \(\displaystyle{ n(n+1)}\) natomiast dlaczego \(\displaystyle{ k}\) w mianowniku wygląda jakby przekształcało się w \(\displaystyle{ n}\)? Być może coś źle jest w tym podejściu dowodowym.
Z góry dzięki za odpowiedź,
Pozdrawiam.
