Pole przekroju ostrosłupa

Sześciany. Wielościany. Kule. Inne bryły. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa w przestrzeni.
matematykipatyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 235
Rejestracja: 12 mar 2018, o 15:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wejherowo
Podziękował: 88 razy

Pole przekroju ostrosłupa

Post autor: matematykipatyk »

Mamy dany ostrosłup prawidłowy czworokątny którego wszystkie krawędzie mają długość równą \(\displaystyle{ a}\). Należy obliczyć pole przekroju zaznaczonego na rysunku, jeżeli płaszczyzna przekroju tworzy z podstawą kąt równy \(\displaystyle{ 30^{o}}\).



Narysowałem przekrój ostrosłupa płaszczyzną przechodzącą przez środek podstawy i górny wierzchołek ostrosłupa. Jak najłatwiej wyznaczyć \(\displaystyle{ x}\)? Mnie zawsze korci żeby nanieść figurę na układ współrzędnych i wyznaczyć boki z a pomocą prostych i znaleźć ich punkt przecięcia, ale chyba nie tak powinno się takie zadania rozwiązywać.
piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23493
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3263 razy

Re: Pole przekroju ostrosłupa

Post autor: piasek101 »

To deltoid.
\(\displaystyle{ x}\) obliczysz sam.

Druga przekątna jest równoległa do drugiej przekątnej podstawy (nie tej na Twoim prawym rysunku).
Poprowadź pionową wysokość trójkąta (na prawym rysunku). Jej przecięcie z \(\displaystyle{ x}\) - niech to będzie A.

Odległość A od podstawy jest taka jak szukanej przekątnej deltoidu od podstawy. Znając tę odległość można wyznaczyć szukaną przekątną - leży ona na przekroju prostopadłym do Twojego idącym przez przekątną podstawy.
matematykipatyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 235
Rejestracja: 12 mar 2018, o 15:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wejherowo
Podziękował: 88 razy

Re: Pole przekroju ostrosłupa

Post autor: matematykipatyk »

Chciałbym prosić o pomoc w policzeniu \(\displaystyle{ x}\). Ja umiem zrobić to tylko w przez naniesienie na układ współrzędnych. Tj. rozpatrujemy proste:
\(\displaystyle{ y= -x + \sqrt{2}}\) -prosta w której zawiera się prawy bok trójkąta z rysunku
\(\displaystyle{ y= \frac{ \sqrt{3} }{3} x}\) - prosta nachylona do osi \(\displaystyle{ OX}\) pod kątem \(\displaystyle{ 30^{o}}\)

Dla uproszczenia obliczeń zakładamy, że \(\displaystyle{ a = 1}\). Pkt. przecięcia prostych to \(\displaystyle{ ( \frac{3 \sqrt{2} }{3+ \sqrt{3} } , \frac{ \sqrt{6} }{ \sqrt{3}+3 } )}\).
Odległość od pkt. \(\displaystyle{ (0,0)}\) wynosi \(\displaystyle{ \frac{2 \sqrt{6} }{ \sqrt{3} + 3 }}\). W zwiążku z tym szukana odległość to \(\displaystyle{ \frac{2 \sqrt{6} }{ \sqrt{3} + 3 } \cdot a}\).
piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23493
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3263 razy

Re: Pole przekroju ostrosłupa

Post autor: piasek101 »

Dobrze obliczyłeś.
Szybciej (chyba) byłoby zauważając, że trójkąt o bokach : \(\displaystyle{ a;a;a\sqrt 2}\) ma znane (i to dokładnie) kąty.
ODPOWIEDZ