Krawędź boczna ostrosłupa

[matematykipatyk]

Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego wynosi \(\displaystyle{ 6 \sqrt{3}}\), a kąt nachylenia krawędzi bocznej do podstawy wynosi \(\displaystyle{ 30^{o}}\). Oblicz długość krawędzi bocznych tego ostrosłupa.

\(\displaystyle{ V= \frac{1}{3} \frac{a^2 \sqrt{3} }{4} \cdot H}\)
\(\displaystyle{ \frac{ H }{\frac{a \sqrt{3} }{3}}= \frac{ \sqrt{3} }{3}}\)
\(\displaystyle{ H= \frac{a}{3}}\)
\(\displaystyle{ \frac{a \sqrt{3} }{12}=6 \sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ a=72}\)
\(\displaystyle{ c= \sqrt{ \left( \frac{72 \sqrt{3}}{3} \right) ^2 + \left( 24 \right) ^2}\)
\(\displaystyle{ c}\) powinno być równe \(\displaystyle{ 4}\). Gdzie mam błąd?

[Dilectus]

\(\displaystyle{ \frac{ H }{\frac{a \sqrt{3} }{3}}= \frac{ \sqrt{3} }{3}}\)
Gdzie mam błąd?

Tu. Ponieważ wysokość trójkąta równobocznego hest równa \(\displaystyle{ h=a \frac{ \sqrt{3} }{2}}\) a Tobie chodzi w tej proporcji o \(\displaystyle{ \frac{1}{3}h}\), więc powinna ona wyglądać tak:

\(\displaystyle{ \frac{ H }{ \frac{1}{3}\cdot \frac{a \sqrt{3} }{2}}= \frac{ \sqrt{3} }{3}}\)



-- 29 gru 2018, o 18:00 --

A długość krawędzi c liczysz z tw. Pitagorasa:

\(\displaystyle{ c^2= \left( \frac{2}{3} a \frac{ \sqrt{3} }{2} \right)^2+H^2}\)

[matematykipatyk]

Nie chodzi o \(\displaystyle{ \frac{1}{3}h}\) tylko o \(\displaystyle{ \frac{2}{3}h}\).

[piasek101]

Nie chodzi o \(\displaystyle{ \frac{1}{3}h}\) tylko o \(\displaystyle{ \frac{2}{3}h}\).

Ale właśnie masz mieć jedną trzecią - co zauważono.

Bo np z tangensa podanego kąta to wynika.

[matematykipatyk]

Dlaczego \(\displaystyle{ \frac{1}{3}h}\) skoro rozpatrujemy trójkąt o bokach \(\displaystyle{ H}\), \(\displaystyle{ \frac{2}{3}h}\), \(\displaystyle{ c}\).


\(\displaystyle{ \frac{1}{3}h}\) byłoby wtedy gdybyśmy rozpatrywali kąt między wysokością ściany bocznej a podstawą.

[Dilectus]

\(\displaystyle{ \frac{1}{3}h}\) byłoby wtedy gdybyśmy rozpatrywali kąt między wysokością ściany bocznej a podstawą.

Przecież to właśnie rozpatrujemy.
Stąd właśnie ta proporcja:

\(\displaystyle{ \frac{ H }{\frac{a \sqrt{3} }{3}}= \frac{ \sqrt{3} }{3}}\)

-- 30 gru 2018, o 13:23 --

Zacytuję sam siebie:

\(\displaystyle{ \frac{ H }{\frac{a \sqrt{3} }{3}}= \frac{ \sqrt{3} }{3}}\)
Gdzie mam błąd?

Tu. Ponieważ wysokość trójkąta równobocznego hest równa \(\displaystyle{ h=a \frac{ \sqrt{3} }{2}}\) a Tobie chodzi w tej proporcji o \(\displaystyle{ \frac{1}{3}h}\), więc powinna ona wyglądać tak:

\(\displaystyle{ \frac{ H }{ \frac{1}{3}\cdot \frac{a \sqrt{3} }{2}}= \frac{ \sqrt{3} }{3}}\)



-- 29 gru 2018, o 18:00 --

A długość krawędzi c liczysz z tw. Pitagorasa:

\(\displaystyle{ c^2= \left( \frac{2}{3} a \frac{ \sqrt{3} }{2} \right)^2+H^2}\)

A wszystko dlatego, że w trójkącie równobocznym wysokości (a więc i dwusieczne kątów, i środkowe) przecinają się w punkcie, który dzieli je w stosunku 2:1.-- 30 gru 2018, o 13:33 --I tu, w ostatnim wzorze mojego cytatu dajesz \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\) wysokości podstawy. Zaznaczę Ci to na czerwono:

\(\displaystyle{ c^2= \left( \red \frac{2}{3} a \frac{ \sqrt{3} }{2} \black \right)^2+H^2}\)

[matematykipatyk]

Już poprawiłem ściany bocznej na krawędzi bocznej. Źle przepisałem treść zadania. Najmocniej przepraszam.

[Dilectus]

Jeśli tak, to skąd się to wzięło:

\(\displaystyle{ \frac{a \sqrt{3} }{12}=6 \sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ a=72}\)

Jeśli

\(\displaystyle{ V= \frac{1}{3} \frac{a^2 \sqrt{3} }{4} \cdot H}\)

i

\(\displaystyle{ H= \frac{a}{3}}\)

i

\(\displaystyle{ V=6 \sqrt{3}}\)

to:

\(\displaystyle{ 6 \sqrt{3}= \frac{1}{3} \frac{a^2 \sqrt{3} }{4} \cdot \frac{a}{3}}\)

\(\displaystyle{ 6=a^3 \frac{1}{2^2\cdot 3^2}}\)

skąd

\(\displaystyle{ a^3=6}\)

\(\displaystyle{ a= \sqrt[3]{6}}\)

[matematykipatyk]

Tzn. \(\displaystyle{ a = 6}\) i
\(\displaystyle{ c = \sqrt{(\frac{6 \sqrt{3}}{2})^{2} + 4}}\)
\(\displaystyle{ c = \sqrt{31}}\)
a powinno być
\(\displaystyle{ c=4}\)
Co jest nie tak?

[Dilectus]

Tzn. \(\displaystyle{ a = 6}\)

Nie. \(\displaystyle{ a^3=6}\)
\(\displaystyle{ c^2= \left( \frac{a}{3}\right) ^2+ \left( \frac{2}{3} a \frac{ \sqrt{3} }{2}\right)^2}\)

\(\displaystyle{ c^2= \frac{a^2}{9}+ \frac{a^2}{3}= \frac{4}{9}a^2}\)

\(\displaystyle{ c= \frac{2}{3}a= \frac{2}{3} \sqrt[3]{6}}\)

O ile się gdzieś nie rąbnąłem.

[piasek101]

Tzn. \(\displaystyle{ a = 6}\) i
\(\displaystyle{ c = \sqrt{(\frac{6 \sqrt{3}}{2})^{2} + 4}}\)
\(\displaystyle{ c = \sqrt{31}}\)
a powinno być
\(\displaystyle{ c=4}\)
Co jest nie tak?

\(\displaystyle{ a=6}\) ok
Ale pod pierwiastkiem \(\displaystyle{ (2\sqrt 3)^2}\) i wtedy \(\displaystyle{ c=4}\).

\(\displaystyle{ a^3=6}\)
\(\displaystyle{ a= \sqrt[3]{6}}\)

Wg mnie nie.

[Dilectus]

\(\displaystyle{ a^3=6}\)
\(\displaystyle{ a= \sqrt[3]{6}}\)
Wg mnie nie.

Masz rację, rąbnąłem się. Za szybko liczyłem . Rzeczywiście \(\displaystyle{ a=6}\)

Przepraszam za tę pomyłkę.

[matematykipatyk]

Faktycznie.