Stosunek krawędzi bocznej ostrosłupa do krawędzi podstawy

Sześciany. Wielościany. Kule. Inne bryły. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa w przestrzeni.
matematykipatyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 235
Rejestracja: 12 mar 2018, o 15:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wejherowo
Podziękował: 88 razy

Stosunek krawędzi bocznej ostrosłupa do krawędzi podstawy

Post autor: matematykipatyk »

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o podstawie \(\displaystyle{ ABCD}\) i wierzchołku \(\displaystyle{ S}\). Ostrosłup ten przecięto płaszczyzną przechodząca przez punkty \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ D}\) oraz przez punkt \(\displaystyle{ P}\) będący środkiem krawędzi \(\displaystyle{ CS}\). Wykaż, że jeśli trójkąt \(\displaystyle{ BDP}\) jest równoboczny, to stosunek długości krawędzi bocznej ostrosłupa do długości krawędzi podstawy jest równy \(\displaystyle{ 2 \sqrt{3} : \sqrt{2}}\)
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: Stosunek krawędzi bocznej ostrosłupa do krawędzi podstaw

Post autor: kerajs »

Wysokość trójkąta \(\displaystyle{ BDP}\) opuszczona z \(\displaystyle{ P}\) jest równa odcinkowi \(\displaystyle{ CP}\) i połowie krawędzi \(\displaystyle{ CS}\).
Przyjmując że odcinek \(\displaystyle{ BD}\) ma długość \(\displaystyle{ x}\) mam:
\(\displaystyle{ \left| AB\right| \sqrt{2} =x \Rightarrow \left| AB\right|= \frac{x}{ \sqrt{2} } \\
\left| CS\right|=2\left| PP'\right|=2 \frac{x \sqrt{3} }{2} =x \sqrt{3} \\
\frac{\left| CS\right|}{\left| AB\right|}= \frac{x \sqrt{3}}{\frac{x}{ \sqrt{2} }} = \sqrt{6}}\)
Ostatnio zmieniony 26 gru 2018, o 20:05 przez AiDi, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
matematykipatyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 235
Rejestracja: 12 mar 2018, o 15:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wejherowo
Podziękował: 88 razy

Re: Stosunek krawędzi bocznej ostrosłupa do krawędzi podstaw

Post autor: matematykipatyk »

Dlaczego:
Wysokość trójkąta \(\displaystyle{ BDP}\) opuszczona z \(\displaystyle{ P}\) jest równa odcinkowi \(\displaystyle{ CP}\).
ODPOWIEDZ