Objętość ostrosłupa przeciętego płaszczyzną

Sześciany. Wielościany. Kule. Inne bryły. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa w przestrzeni.
matematykipatyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 235
Rejestracja: 12 mar 2018, o 15:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wejherowo
Podziękował: 88 razy

Objętość ostrosłupa przeciętego płaszczyzną

Post autor: matematykipatyk »

Ostrosłup prawidłowy trójkątny o krawędzi podstawy \(\displaystyle{ a}\) przecięto płaszczyzną przechodzącą przez środki krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka należącego do podstawy. Poe otrzymanego przekroju jest równe \(\displaystyle{ S}\). Wyznacz objętość tego ostrosłupa.
piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23493
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3263 razy

Objętość ostrosłupa przeciętego płaszczyzną

Post autor: piasek101 »

matematykipatyk pisze:Ostrosłup prawidłowy trójkątny o krawędzi podstawy \(\displaystyle{ a}\) przecięto płaszczyzną przechodzącą przez środki krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka należącego do podstawy. Poe otrzymanego przekroju jest równe \(\displaystyle{ S}\). Wyznacz objętość tego ostrosłupa.
Może w ten wyjątkowy wieczór czegoś nie widzę - ale wg mnie jest za mało danych co do tego przekroju.
matematykipatyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 235
Rejestracja: 12 mar 2018, o 15:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wejherowo
Podziękował: 88 razy

Re: Objętość ostrosłupa przeciętego płaszczyzną

Post autor: matematykipatyk »

Odpowiedź w książce to \(\displaystyle{ \frac{a}{24} \sqrt{768S ^{2} - a^4 }}\). Dlaczego jest za mało danych?
piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23493
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3263 razy

Re: Objętość ostrosłupa przeciętego płaszczyzną

Post autor: piasek101 »

Dzisiaj zinterpretowałem zapis zadania nieco inaczej (treść wg mnie jest niedoprecyzowana) - przekrój przechodzi przez dwa środki krawędzi podstawy i środek jednej krawędzi bocznej (a wszystkie trzy krawędzie wychodzą z jednego wierzchołka podstawy).

Może jeszcze na to popatrzę.

[edit] Przekrój odcina od ostrosłupa podobny do niego tylko dwa razy mniejszy (oczywiście co do jego wymiarów liniowych).
Przekrój jest ścianą boczną tego małego ostrosłupa.
Wysokość ściany z pola, wysokość ostrosłupa (małego) z Pitagorasa.
Objętość dużego jest ośmiokrotnie większa od małego.
kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6882
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 50 razy
Pomógł: 1112 razy

Re: Objętość ostrosłupa przeciętego płaszczyzną

Post autor: kruszewski »

Jeżeli krawędź podstawy jest równa \(\displaystyle{ a}\) to bok trójkąta pola\(\displaystyle{ S}\) ma miarę równą połowie miary krawędzi podstawy, a jej pole jest równe czterem polom \(\displaystyle{ S}\) , skala (liniowa) \(\displaystyle{ k=2}\) stąd powierzchniowa \(\displaystyle{ K = k^2 = 4}\)


Jeżeli byłby to czworościan foremny o krawędzi \(\displaystyle{ a}\) , to:

\(\displaystyle{ S=a4^2 \frac{ \sqrt{2} }{4}}\) ...........(1)
\(\displaystyle{ S_p = 4 S = a^2 \sqrt{3}}\) ............(2)
Kwadrat wysokości ściany: \(\displaystyle{ h_s^2 = a^2 - \left( \frac{a}{2} \right)^2}\) ..... (3)

Kwadrat wysokości czworościanu: \(\displaystyle{ H^2 = h_s^2 - \left( \frac{a}{2} \right)^2 = \frac{a^2}{2}}\) ....... (4)

\(\displaystyle{ H = a \frac{ \sqrt{2} }{2}}\) ....... (5)


Objętość \(\displaystyle{ V = \frac{1}{3} S_p \cdot H = \frac{a^2 \sqrt{3} }{3} \cdot \frac{a \sqrt{2} }{2} = a^3 \frac{ \sqrt{6} }{6}}\) ...... (6)

Proszę sprawdzić rachunki, dziś mogłem się pomylić.
piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23493
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3263 razy

Re: Objętość ostrosłupa przeciętego płaszczyzną

Post autor: piasek101 »

To nie jest czworościan foremny.

Odpowiedź podana przez usera jest ok.
matematykipatyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 235
Rejestracja: 12 mar 2018, o 15:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wejherowo
Podziękował: 88 razy

Re: Objętość ostrosłupa przeciętego płaszczyzną

Post autor: matematykipatyk »

Już rozwiązałem. Faktycznie trzeba skorzystać z tego, że pole ściany bocznej to \(\displaystyle{ 4}\) razy pole przekroju i wtedy wszystko ładnie wychodzi.


Ps.

A w czym robicie takie fajne rysunki. Jest może jakiś program do rysownia brył.
Ostatnio zmieniony 26 gru 2018, o 20:46 przez matematykipatyk, łącznie zmieniany 1 raz.
piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23493
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3263 razy

Re: Objętość ostrosłupa przeciętego płaszczyzną

Post autor: piasek101 »

Albo tego (o czym pisałem), że objętość szukanego jest osiem razy większa od małego.
kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6882
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 50 razy
Pomógł: 1112 razy

Re: Objętość ostrosłupa przeciętego płaszczyzną

Post autor: kruszewski »

Pisaem o tym:
"a jej pole jest równe czterem polom \(\displaystyle{ S}\) , skala (liniowa) \(\displaystyle{ k=2}\) stąd powierzchniowa \(\displaystyle{ K = k^2 = 4}\)"
Awatar użytkownika
kinia7
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 704
Rejestracja: 28 lis 2012, o 11:58
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 89 razy
Pomógł: 94 razy

Re: Objętość ostrosłupa przeciętego płaszczyzną

Post autor: kinia7 »

kruszewski pisze:\(\displaystyle{ S_p = 4 S = a^2 \sqrt{3}}\) ............(2)
Jeśli to ma być pole podstawy, to musi być \(\displaystyle{ S_p=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot a^2}\)
kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6882
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 50 razy
Pomógł: 1112 razy

Re: Objętość ostrosłupa przeciętego płaszczyzną

Post autor: kruszewski »

Racja!
ODPOWIEDZ