Objętość ostrosłupa przeciętego płaszczyzną
-
- Użytkownik
- Posty: 235
- Rejestracja: 12 mar 2018, o 15:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wejherowo
- Podziękował: 88 razy
Objętość ostrosłupa przeciętego płaszczyzną
Ostrosłup prawidłowy trójkątny o krawędzi podstawy \(\displaystyle{ a}\) przecięto płaszczyzną przechodzącą przez środki krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka należącego do podstawy. Poe otrzymanego przekroju jest równe \(\displaystyle{ S}\). Wyznacz objętość tego ostrosłupa.
-
- Użytkownik
- Posty: 23493
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3263 razy
Objętość ostrosłupa przeciętego płaszczyzną
Może w ten wyjątkowy wieczór czegoś nie widzę - ale wg mnie jest za mało danych co do tego przekroju.matematykipatyk pisze:Ostrosłup prawidłowy trójkątny o krawędzi podstawy \(\displaystyle{ a}\) przecięto płaszczyzną przechodzącą przez środki krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka należącego do podstawy. Poe otrzymanego przekroju jest równe \(\displaystyle{ S}\). Wyznacz objętość tego ostrosłupa.
-
- Użytkownik
- Posty: 235
- Rejestracja: 12 mar 2018, o 15:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wejherowo
- Podziękował: 88 razy
Re: Objętość ostrosłupa przeciętego płaszczyzną
Odpowiedź w książce to \(\displaystyle{ \frac{a}{24} \sqrt{768S ^{2} - a^4 }}\). Dlaczego jest za mało danych?
-
- Użytkownik
- Posty: 23493
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3263 razy
Re: Objętość ostrosłupa przeciętego płaszczyzną
Dzisiaj zinterpretowałem zapis zadania nieco inaczej (treść wg mnie jest niedoprecyzowana) - przekrój przechodzi przez dwa środki krawędzi podstawy i środek jednej krawędzi bocznej (a wszystkie trzy krawędzie wychodzą z jednego wierzchołka podstawy).
Może jeszcze na to popatrzę.
[edit] Przekrój odcina od ostrosłupa podobny do niego tylko dwa razy mniejszy (oczywiście co do jego wymiarów liniowych).
Przekrój jest ścianą boczną tego małego ostrosłupa.
Wysokość ściany z pola, wysokość ostrosłupa (małego) z Pitagorasa.
Objętość dużego jest ośmiokrotnie większa od małego.
Może jeszcze na to popatrzę.
[edit] Przekrój odcina od ostrosłupa podobny do niego tylko dwa razy mniejszy (oczywiście co do jego wymiarów liniowych).
Przekrój jest ścianą boczną tego małego ostrosłupa.
Wysokość ściany z pola, wysokość ostrosłupa (małego) z Pitagorasa.
Objętość dużego jest ośmiokrotnie większa od małego.
-
- Użytkownik
- Posty: 6882
- Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Staszów
- Podziękował: 50 razy
- Pomógł: 1112 razy
Re: Objętość ostrosłupa przeciętego płaszczyzną
Jeżeli krawędź podstawy jest równa \(\displaystyle{ a}\) to bok trójkąta pola\(\displaystyle{ S}\) ma miarę równą połowie miary krawędzi podstawy, a jej pole jest równe czterem polom \(\displaystyle{ S}\) , skala (liniowa) \(\displaystyle{ k=2}\) stąd powierzchniowa \(\displaystyle{ K = k^2 = 4}\)
Jeżeli byłby to czworościan foremny o krawędzi \(\displaystyle{ a}\) , to:
\(\displaystyle{ S=a4^2 \frac{ \sqrt{2} }{4}}\) ...........(1)
\(\displaystyle{ S_p = 4 S = a^2 \sqrt{3}}\) ............(2)
Kwadrat wysokości ściany: \(\displaystyle{ h_s^2 = a^2 - \left( \frac{a}{2} \right)^2}\) ..... (3)
Kwadrat wysokości czworościanu: \(\displaystyle{ H^2 = h_s^2 - \left( \frac{a}{2} \right)^2 = \frac{a^2}{2}}\) ....... (4)
\(\displaystyle{ H = a \frac{ \sqrt{2} }{2}}\) ....... (5)
Objętość \(\displaystyle{ V = \frac{1}{3} S_p \cdot H = \frac{a^2 \sqrt{3} }{3} \cdot \frac{a \sqrt{2} }{2} = a^3 \frac{ \sqrt{6} }{6}}\) ...... (6)
Proszę sprawdzić rachunki, dziś mogłem się pomylić.
Jeżeli byłby to czworościan foremny o krawędzi \(\displaystyle{ a}\) , to:
\(\displaystyle{ S=a4^2 \frac{ \sqrt{2} }{4}}\) ...........(1)
\(\displaystyle{ S_p = 4 S = a^2 \sqrt{3}}\) ............(2)
Kwadrat wysokości ściany: \(\displaystyle{ h_s^2 = a^2 - \left( \frac{a}{2} \right)^2}\) ..... (3)
Kwadrat wysokości czworościanu: \(\displaystyle{ H^2 = h_s^2 - \left( \frac{a}{2} \right)^2 = \frac{a^2}{2}}\) ....... (4)
\(\displaystyle{ H = a \frac{ \sqrt{2} }{2}}\) ....... (5)
Objętość \(\displaystyle{ V = \frac{1}{3} S_p \cdot H = \frac{a^2 \sqrt{3} }{3} \cdot \frac{a \sqrt{2} }{2} = a^3 \frac{ \sqrt{6} }{6}}\) ...... (6)
Proszę sprawdzić rachunki, dziś mogłem się pomylić.
-
- Użytkownik
- Posty: 235
- Rejestracja: 12 mar 2018, o 15:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wejherowo
- Podziękował: 88 razy
Re: Objętość ostrosłupa przeciętego płaszczyzną
Już rozwiązałem. Faktycznie trzeba skorzystać z tego, że pole ściany bocznej to \(\displaystyle{ 4}\) razy pole przekroju i wtedy wszystko ładnie wychodzi.
Ps.
A w czym robicie takie fajne rysunki. Jest może jakiś program do rysownia brył.
Ps.
A w czym robicie takie fajne rysunki. Jest może jakiś program do rysownia brył.
Ostatnio zmieniony 26 gru 2018, o 20:46 przez matematykipatyk, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 6882
- Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Staszów
- Podziękował: 50 razy
- Pomógł: 1112 razy
Re: Objętość ostrosłupa przeciętego płaszczyzną
Pisaem o tym:
"a jej pole jest równe czterem polom \(\displaystyle{ S}\) , skala (liniowa) \(\displaystyle{ k=2}\) stąd powierzchniowa \(\displaystyle{ K = k^2 = 4}\)"
"a jej pole jest równe czterem polom \(\displaystyle{ S}\) , skala (liniowa) \(\displaystyle{ k=2}\) stąd powierzchniowa \(\displaystyle{ K = k^2 = 4}\)"
- kinia7
- Użytkownik
- Posty: 704
- Rejestracja: 28 lis 2012, o 11:58
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 89 razy
- Pomógł: 94 razy
Re: Objętość ostrosłupa przeciętego płaszczyzną
Jeśli to ma być pole podstawy, to musi być \(\displaystyle{ S_p=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot a^2}\)kruszewski pisze:\(\displaystyle{ S_p = 4 S = a^2 \sqrt{3}}\) ............(2)
-
- Użytkownik
- Posty: 6882
- Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Staszów
- Podziękował: 50 razy
- Pomógł: 1112 razy