Punkt wspólny trójki płaszczyzn — jakieś twierdzenie?

Sześciany. Wielościany. Kule. Inne bryły. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa w przestrzeni.
Majeskas
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1456
Rejestracja: 14 gru 2007, o 14:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 49 razy
Pomógł: 198 razy

Punkt wspólny trójki płaszczyzn — jakieś twierdzenie?

Post autor: Majeskas »

Zastanawiałem się nad dowodem tego, że w każdy czworościan można wpisać sferę. Naśladując rozumowanie "płaskie", przeciąłbym ze sobą płaszczyzny dwusieczne trzech wybranych kątów dwuściennych. Taki punkt przecięcia będzie jednakowo odległy od wszystkich ścian czworościanu. Tylko dlaczego istnieje? Można się z tym wygimnastykować, ale może istnieje jakiś dobry chwyt? Na przykład w źródłach dotyczących geometrii wykreślnej pojawia się czasem sformułowanie w rodzaju "skorzystamy z twierdzenia o punkcie wspólnym trójki płaszczyzn". Tyle że nikt go nie formułuje. Sprowadza się tam ono do stwierdzenia, że trójka płaszczyzn ma punkt wspólny, no bo te płaszczyzny dobrze leżą… Żeby mieć pewność istnienia punktu wspólnego, trzeba wykluczyć takie możliwości jak równoległość którejś pary płaszczyzn i równoległość którejś płaszczyzny i krawędzi wspólnej pozostałych dwóch. Czy ktoś zna jakieś twierdzenie, które przy pewnych założeniach wyklucza te sytuacje?
ODPOWIEDZ