Planimetria okręgi i styczne

[KlaudynaK]

Witam, próbuję rozwiązać to zadanie lecz jedyne na co wpadłam to twierdzenie Pitagorasa, ale to nic nie wnosi chyba do zadania link do zadania (potrzebny rysunek do rozwiązania)

Proszę o pomoc

[kerajs]

Wskazówki:
Czworokąt OAMC jest kwadratem.

\(\displaystyle{ \tg 2\alpha= \frac{2\tg \alpha}{1-\tg ^2\alpha}}\)


EDIT:

Ukryta treść:    

No z tym kwadratem też widziałam i wtedy odcinek MP to 7m, ale nie wiem jak to wykorzystać,
a wzór, który napisałeś pierwszy raz na oczy widzę, nie da się tego rozwiązać bez niego ?

Nawet jeśli nie znasz tego wzoru, to można go łatwo wyprowadzić:
\(\displaystyle{ \tg 2\alpha= \frac{\sin 2\alpha }{\cos 2\alpha } = \frac{2\sin \alpha \cos \alpha }{\cos^2 \alpha -\sin^2 \alpha }= \frac{\frac{2\sin \alpha \cos \alpha }{\cos^2 \alpha }}{\frac{\cos^2 \alpha -\sin^2 \alpha }{\cos^2 \alpha }} = \frac{2\tg \alpha}{1-\tg ^2\alpha}}\)
Wykorzystanie wskazówek:
\(\displaystyle{ \frac{\left|MN \right| }{\left|MP \right| }=\tg 2\alpha \\
\frac{\left|MN \right| }{7 }= \frac{2 \cdot \frac{5}{12} }{1-\left( \frac{5}{12}\right)^2 }\\
\left|MN \right|= \frac{120}{17}}\)
Dość uniwersalnym sposobem ucieczki od kłopotliwej planimetrii jest przejście na geometrię analityczną.

[KlaudynaK]

No z tym kwadratem też widziałam i wtedy odcinek MP to 7m, ale nie wiem jak to wykorzystać,
a wzór, który napisałeś pierwszy raz na oczy widzę, nie da się tego rozwiązać bez niego ?

[PokEmil]

Da się. Skoro zauważyłaś ten kwadrat, to \(\displaystyle{ |MC|=?}\). Teraz zauważmy, że \(\displaystyle{ |BN|=|CN|}\) (z twierdzenia o odcinkach stycznych do okręgu). Możemy oznaczyć dla wygody tę długość przez \(\displaystyle{ x}\). Tak samo, \(\displaystyle{ |AP|=|BP|}\). Wykorzystaj twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta \(\displaystyle{ MPN}\).

[KlaudynaK]

Dzięki, wyszła mi odpowiedź D.
Jestem trochę nie zorientowana w tym jeszcze.
Dodatkowe pytanie: Udowodnienie, które napisałeś do czego mam wykorzystać ?

[PokEmil]

Tak, D to poprawna odpowiedź.
Hah, chodzi ci o podpis?
To po prostu jest tekst, wyświetlany pod każdym moim komentarzem. Każdy może sobie coś takiego ustawić w ustawieniach. A ten dowód wcale nie jest poprawny, przecież \(\displaystyle{ \sqrt 2}\), \(\displaystyle{ \sqrt 3}\), czy też \(\displaystyle{ \pi}\) mają nieskończone rozwinięcia dziesiętne, a ciekawym zbiegem okoliczności jest fakt, że ich przybliżenia spełniają taką równość.