Walec i funkcja kwadratowa (Optymalizacja)
-
- Użytkownik
- Posty: 16
- Rejestracja: 12 sie 2018, o 15:50
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 12 razy
Walec i funkcja kwadratowa (Optymalizacja)
Witam, proszę was o pomoc w kolejnym zadaniu, nie za bardzo rozumiem o co w nim chodzi.
Treść:
Wśród walców o obwodzie przekroju osiowego 80 cm największe pole powierzchni bocznej ma walec, którego promień podstawy r i wysokość h wynoszą:
A. r= 10 cm i h= 20 cm
B. r=20 cm i h=40 cm
C. r=15 cm i h= 10 cm
D. r=40 cm i h=40 cm
Czy do tego mam wykorzystać wzór \(\displaystyle{ Pb=2 \pi rH}\), czy mam korzystać z funkcji kwadratowej i z tego wyliczyć największą wartość funkcji tylko jaki wzór do tego ułożyć ? :/ Proszę o pomoc :O
Treść:
Wśród walców o obwodzie przekroju osiowego 80 cm największe pole powierzchni bocznej ma walec, którego promień podstawy r i wysokość h wynoszą:
A. r= 10 cm i h= 20 cm
B. r=20 cm i h=40 cm
C. r=15 cm i h= 10 cm
D. r=40 cm i h=40 cm
Czy do tego mam wykorzystać wzór \(\displaystyle{ Pb=2 \pi rH}\), czy mam korzystać z funkcji kwadratowej i z tego wyliczyć największą wartość funkcji tylko jaki wzór do tego ułożyć ? :/ Proszę o pomoc :O
-
- Użytkownik
- Posty: 16
- Rejestracja: 12 sie 2018, o 15:50
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 12 razy
Walec i funkcja kwadratowa (Optymalizacja)
Dobra chyba już rozumiem. Czyli z samego obwodu przekroju osiowego wykluczam odpowiedź B i D, bo nie wynoszą 80 cm i potem wzorem na Pb wyliczam i większa jest odpowiedź A ?
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8581
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3349 razy
Re: Walec i funkcja kwadratowa (Optymalizacja)
Twoje sprytne rozumowanie będzie poprawne tylko dla testu jednokrotnego wyboru (gdzie dokładnie jedna odpowiedź jest prawdziwa).
Jednak dla testu wielokrotnego wyboru nie wiesz czy wartości z odpowiedzi A) dają maksymalne pole boczne.
Wtedy musisz zoptymalizować szukaną wielkość:
\(\displaystyle{ P(r,h)=2 \pi rh \\
P(r)=2 \pi r( \frac{80-4r}{2} ) \ \ \ \wedge \ \ r \in \left( 0,20\right) \\}\)
Dalej pewnie potrafisz.
Jednak dla testu wielokrotnego wyboru nie wiesz czy wartości z odpowiedzi A) dają maksymalne pole boczne.
Wtedy musisz zoptymalizować szukaną wielkość:
\(\displaystyle{ P(r,h)=2 \pi rh \\
P(r)=2 \pi r( \frac{80-4r}{2} ) \ \ \ \wedge \ \ r \in \left( 0,20\right) \\}\)
Dalej pewnie potrafisz.
-
- Użytkownik
- Posty: 16
- Rejestracja: 12 sie 2018, o 15:50
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 12 razy
Walec i funkcja kwadratowa (Optymalizacja)
Czyli wychodzi mi, że P(r)= \(\displaystyle{ -4 \pi r ^{2}}\)+ 80 \(\displaystyle{ \pi}\)r
i wyliczając ze wzoru na wierzchołek \(\displaystyle{ \frac{-b}{2a}}\) wychodzi mi 10, tylko mam problem jak wyliczyć q bo przeszkadza mi w tym \(\displaystyle{ \pi}\) :0
i wyliczając ze wzoru na wierzchołek \(\displaystyle{ \frac{-b}{2a}}\) wychodzi mi 10, tylko mam problem jak wyliczyć q bo przeszkadza mi w tym \(\displaystyle{ \pi}\) :0
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8581
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3349 razy
Re: Walec i funkcja kwadratowa (Optymalizacja)
\(\displaystyle{ q= \frac{-\Delta}{4a}= \frac{-(80 \pi )^2}{4 \cdot (-4 \pi) }=400 \pi}\)
A do czego potrzebujesz \(\displaystyle{ q}\)?
Inaczej:
1.
\(\displaystyle{ P(r)=4 \pi \left( 20r-r^2\right)\\
P(r)=4 \pi \left( 100-(r-10)^2\right)\\
P_{max}=P(10)}\)
2.
\(\displaystyle{ P(r)=4 \pi \left( 20r-r^2\right)\\
P'(r)=4 \pi \left( 20-2r\right)\\
P'=0 \Leftrightarrow r=10\\
\left( P'(10^-)>0 \wedge P'(10^+)<0\right) \Rightarrow P_{max}=P(10)}\)
3.
\(\displaystyle{ P(r)=4 \pi \left( 20r-r^2\right)\\
P'(r)=4 \pi \left( 20-2r\right)\\
P'=0 \Leftrightarrow r=10\\
P''=-8 \pi r\\
P''(10)<0 \Rightarrow P_{max}=P(10)}\)
A do czego potrzebujesz \(\displaystyle{ q}\)?
Inaczej:
1.
\(\displaystyle{ P(r)=4 \pi \left( 20r-r^2\right)\\
P(r)=4 \pi \left( 100-(r-10)^2\right)\\
P_{max}=P(10)}\)
2.
\(\displaystyle{ P(r)=4 \pi \left( 20r-r^2\right)\\
P'(r)=4 \pi \left( 20-2r\right)\\
P'=0 \Leftrightarrow r=10\\
\left( P'(10^-)>0 \wedge P'(10^+)<0\right) \Rightarrow P_{max}=P(10)}\)
3.
\(\displaystyle{ P(r)=4 \pi \left( 20r-r^2\right)\\
P'(r)=4 \pi \left( 20-2r\right)\\
P'=0 \Leftrightarrow r=10\\
P''=-8 \pi r\\
P''(10)<0 \Rightarrow P_{max}=P(10)}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 75
- Rejestracja: 30 lis 2014, o 19:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Edinburgh & Śląsk
- Pomógł: 13 razy
Re: Walec i funkcja kwadratowa (Optymalizacja)
Można jeszcze tak: \(\displaystyle{ P(r)=2 \pi r( \frac{80-4r}{2} )=4 \pi r (20-r)}\)
Ramiona paraboli są zwrócone w górę, zaś pierwiastkami tej funkcji kwadratowej są \(\displaystyle{ 0}\) i \(\displaystyle{ 20}\). Odcięta wierzchołka jest równa średniej arytmetycznej miejsc zerowych \(\displaystyle{ \frac{0+20}{2} = 10}\).
Dlatego \(\displaystyle{ P_{max}=P(10)}\)
Ramiona paraboli są zwrócone w górę, zaś pierwiastkami tej funkcji kwadratowej są \(\displaystyle{ 0}\) i \(\displaystyle{ 20}\). Odcięta wierzchołka jest równa średniej arytmetycznej miejsc zerowych \(\displaystyle{ \frac{0+20}{2} = 10}\).
Dlatego \(\displaystyle{ P_{max}=P(10)}\)
- karolex123
- Użytkownik
- Posty: 751
- Rejestracja: 22 gru 2012, o 11:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: somewhere
- Podziękował: 39 razy
- Pomógł: 127 razy
Re: Walec i funkcja kwadratowa (Optymalizacja)
W dół_Michal pisze:Można jeszcze tak: \(\displaystyle{ P(r)=2 \pi r( \frac{80-4r}{2} )=4 \pi r (20-r)}\)
Ramiona paraboli są zwrócone w górę
Poza tym, skoro już piszę to można też tak: \(\displaystyle{ P(r)=2 \pi r( \frac{80-4r}{2} )=4 \pi r (20-r) \le 400 \pi}\), bo nierówność między średnimi dla \(\displaystyle{ r \in \left( 0,20\right)}\); równość wtw \(\displaystyle{ r=20-r \Rightarrow r=10}\).
Ostatnio zmieniony 14 sie 2018, o 22:11 przez karolex123, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 75
- Rejestracja: 30 lis 2014, o 19:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Edinburgh & Śląsk
- Pomógł: 13 razy
Re: Walec i funkcja kwadratowa (Optymalizacja)
Oczywiście, że tak Dziękuję.karolex123 pisze:W dół_Michal pisze:Można jeszcze tak: \(\displaystyle{ P(r)=2 \pi r( \frac{80-4r}{2} )=4 \pi r (20-r)}\)
Ramiona paraboli są zwrócone w górę
-
- Użytkownik
- Posty: 6882
- Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Staszów
- Podziękował: 50 razy
- Pomógł: 1112 razy
Re: Walec i funkcja kwadratowa (Optymalizacja)
Klaudyna zauważyła już, że tylko walce A i C spełniają warunek długości obwodu przekroju osiowego, suma długości krawędzi równa 80 cm
By odpowiedzieć na zadane pytanie porównajmy ich pola powierzchni bocznej.
\(\displaystyle{ \frac{A_A}{A_C} = \frac{2 \pi r_A \cdot h_A}{2 \pi r_B \cdot h_B} = \frac{10 \cdot 20}{15 \cdot 10} = \frac{20}{15}= \frac{4}{3}}\)
Zatem: \(\displaystyle{ A_A>A_B}\)
By odpowiedzieć na zadane pytanie porównajmy ich pola powierzchni bocznej.
\(\displaystyle{ \frac{A_A}{A_C} = \frac{2 \pi r_A \cdot h_A}{2 \pi r_B \cdot h_B} = \frac{10 \cdot 20}{15 \cdot 10} = \frac{20}{15}= \frac{4}{3}}\)
Zatem: \(\displaystyle{ A_A>A_B}\)