Walec i funkcja kwadratowa (Optymalizacja)

Sześciany. Wielościany. Kule. Inne bryły. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa w przestrzeni.
KlaudynaK
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 12 sie 2018, o 15:50
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 12 razy

Walec i funkcja kwadratowa (Optymalizacja)

Post autor: KlaudynaK »

Witam, proszę was o pomoc w kolejnym zadaniu, nie za bardzo rozumiem o co w nim chodzi.
Treść:
Wśród walców o obwodzie przekroju osiowego 80 cm największe pole powierzchni bocznej ma walec, którego promień podstawy r i wysokość h wynoszą:
A. r= 10 cm i h= 20 cm
B. r=20 cm i h=40 cm
C. r=15 cm i h= 10 cm
D. r=40 cm i h=40 cm
Czy do tego mam wykorzystać wzór \(\displaystyle{ Pb=2 \pi rH}\), czy mam korzystać z funkcji kwadratowej i z tego wyliczyć największą wartość funkcji tylko jaki wzór do tego ułożyć ? :/ Proszę o pomoc :O
piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23493
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3263 razy

Re: Walec i funkcja kwadratowa (Optymalizacja)

Post autor: piasek101 »

Wzór.

[edit] Nie zapomnij sprawdzić czy obwód pasuje do zadania.
KlaudynaK
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 12 sie 2018, o 15:50
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 12 razy

Walec i funkcja kwadratowa (Optymalizacja)

Post autor: KlaudynaK »

Dobra chyba już rozumiem. Czyli z samego obwodu przekroju osiowego wykluczam odpowiedź B i D, bo nie wynoszą 80 cm i potem wzorem na Pb wyliczam i większa jest odpowiedź A ?
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: Walec i funkcja kwadratowa (Optymalizacja)

Post autor: kerajs »

Twoje sprytne rozumowanie będzie poprawne tylko dla testu jednokrotnego wyboru (gdzie dokładnie jedna odpowiedź jest prawdziwa).

Jednak dla testu wielokrotnego wyboru nie wiesz czy wartości z odpowiedzi A) dają maksymalne pole boczne.
Wtedy musisz zoptymalizować szukaną wielkość:
\(\displaystyle{ P(r,h)=2 \pi rh \\
P(r)=2 \pi r( \frac{80-4r}{2} ) \ \ \ \wedge \ \ r \in \left( 0,20\right) \\}\)

Dalej pewnie potrafisz.
KlaudynaK
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 12 sie 2018, o 15:50
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 12 razy

Walec i funkcja kwadratowa (Optymalizacja)

Post autor: KlaudynaK »

Czyli wychodzi mi, że P(r)= \(\displaystyle{ -4 \pi r ^{2}}\)+ 80 \(\displaystyle{ \pi}\)r
i wyliczając ze wzoru na wierzchołek \(\displaystyle{ \frac{-b}{2a}}\) wychodzi mi 10, tylko mam problem jak wyliczyć q bo przeszkadza mi w tym \(\displaystyle{ \pi}\) :0
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: Walec i funkcja kwadratowa (Optymalizacja)

Post autor: kerajs »

\(\displaystyle{ q= \frac{-\Delta}{4a}= \frac{-(80 \pi )^2}{4 \cdot (-4 \pi) }=400 \pi}\)
A do czego potrzebujesz \(\displaystyle{ q}\)?


Inaczej:
1.
\(\displaystyle{ P(r)=4 \pi \left( 20r-r^2\right)\\
P(r)=4 \pi \left( 100-(r-10)^2\right)\\
P_{max}=P(10)}\)


2.
\(\displaystyle{ P(r)=4 \pi \left( 20r-r^2\right)\\
P'(r)=4 \pi \left( 20-2r\right)\\
P'=0 \Leftrightarrow r=10\\
\left( P'(10^-)>0 \wedge P'(10^+)<0\right) \Rightarrow P_{max}=P(10)}\)


3.
\(\displaystyle{ P(r)=4 \pi \left( 20r-r^2\right)\\
P'(r)=4 \pi \left( 20-2r\right)\\
P'=0 \Leftrightarrow r=10\\
P''=-8 \pi r\\
P''(10)<0 \Rightarrow P_{max}=P(10)}\)
_Michal
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 75
Rejestracja: 30 lis 2014, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Edinburgh & Śląsk
Pomógł: 13 razy

Re: Walec i funkcja kwadratowa (Optymalizacja)

Post autor: _Michal »

Można jeszcze tak: \(\displaystyle{ P(r)=2 \pi r( \frac{80-4r}{2} )=4 \pi r (20-r)}\)
Ramiona paraboli są zwrócone w górę, zaś pierwiastkami tej funkcji kwadratowej są \(\displaystyle{ 0}\) i \(\displaystyle{ 20}\). Odcięta wierzchołka jest równa średniej arytmetycznej miejsc zerowych \(\displaystyle{ \frac{0+20}{2} = 10}\).
Dlatego \(\displaystyle{ P_{max}=P(10)}\)
Awatar użytkownika
karolex123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 751
Rejestracja: 22 gru 2012, o 11:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: somewhere
Podziękował: 39 razy
Pomógł: 127 razy

Re: Walec i funkcja kwadratowa (Optymalizacja)

Post autor: karolex123 »

_Michal pisze:Można jeszcze tak: \(\displaystyle{ P(r)=2 \pi r( \frac{80-4r}{2} )=4 \pi r (20-r)}\)
Ramiona paraboli są zwrócone w górę
W dół

Poza tym, skoro już piszę to można też tak: \(\displaystyle{ P(r)=2 \pi r( \frac{80-4r}{2} )=4 \pi r (20-r) \le 400 \pi}\), bo nierówność między średnimi dla \(\displaystyle{ r \in \left( 0,20\right)}\); równość wtw \(\displaystyle{ r=20-r \Rightarrow r=10}\).
Ostatnio zmieniony 14 sie 2018, o 22:11 przez karolex123, łącznie zmieniany 1 raz.
_Michal
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 75
Rejestracja: 30 lis 2014, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Edinburgh & Śląsk
Pomógł: 13 razy

Re: Walec i funkcja kwadratowa (Optymalizacja)

Post autor: _Michal »

karolex123 pisze:
_Michal pisze:Można jeszcze tak: \(\displaystyle{ P(r)=2 \pi r( \frac{80-4r}{2} )=4 \pi r (20-r)}\)
Ramiona paraboli są zwrócone w górę
W dół
Oczywiście, że tak Dziękuję.
kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6882
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 50 razy
Pomógł: 1112 razy

Re: Walec i funkcja kwadratowa (Optymalizacja)

Post autor: kruszewski »

Klaudyna zauważyła już, że tylko walce A i C spełniają warunek długości obwodu przekroju osiowego, suma długości krawędzi równa 80 cm
By odpowiedzieć na zadane pytanie porównajmy ich pola powierzchni bocznej.
\(\displaystyle{ \frac{A_A}{A_C} = \frac{2 \pi r_A \cdot h_A}{2 \pi r_B \cdot h_B} = \frac{10 \cdot 20}{15 \cdot 10} = \frac{20}{15}= \frac{4}{3}}\)
Zatem: \(\displaystyle{ A_A>A_B}\)
ODPOWIEDZ