Czworościan i sfery

Sześciany. Wielościany. Kule. Inne bryły. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa w przestrzeni.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11265
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3143 razy
Pomógł: 747 razy

Czworościan i sfery

Post autor: mol_ksiazkowy »

W czworościanie \(\displaystyle{ ABCD}\) którego wszystkie ściany są trójkątami ostrokątnymi środek sfery wpisanej i opisanej są na prostej \(\displaystyle{ l}\), która ma punkt wspólny z \(\displaystyle{ AB}\). Udowodnić, że kąty \(\displaystyle{ ACB}\) i \(\displaystyle{ ADB}\) są równe.
kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6882
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 50 razy
Pomógł: 1112 razy

Re: Czworościan i sfery

Post autor: kruszewski »

Myślę, że ten rysunek pokazuje jak taki czworościan wpisany w sferę i z inną sferą wpisaną w niego można skonstruować.
Widać tu, że krawędzie \(\displaystyle{ AC \ i \ BC}\) jednej ze ścian, do której jest styczna sfera wpisana, obracane są wokół pozostałej krawędzi \(\displaystyle{ AB}\) . Obród jest w płaszczyźnie prostopadłej do krawędzi \(\displaystyle{ AB}\) i wyznaczonej wierzchołkiem \(\displaystyle{ C}\) do położenia w którym punkt \(\displaystyle{ C}\) odcinka \(\displaystyle{ CD}\) będzie przynależał do powierzchni sfery opisanej w punkcie oznaczonym \(\displaystyle{ C'}\) . Stąd prosta do której przynależy \(\displaystyle{ CD}\) jest tą która jest prostopadłą do do \(\displaystyle{ AB}\) ma więc współny z nią punkt \(\displaystyle{ D}\) i przynależą do niej środki obu sfer, wpisanej i opisanej na czworościanie.
Punkty \(\displaystyle{ S}\) są punktami styczności kuli wpisanej ze ścianami czworościanu.
Jeżeli ściana \(\displaystyle{ ABC'}\) czworościanu powstała z jego ściany \(\displaystyle{ ABC}\) prze obrót wokół jednego boku, to jest do niej przystająca. Zatem kąt przy wierzchołku \(\displaystyle{ C}\)
\(\displaystyle{ \angle ACB = \angle AC'B}\) o co było pytanie.


ODPOWIEDZ