Ostrosłup wpisany w kulę

[reznovv]

W kulę o promieniu \(\displaystyle{ 2\:cm}\) wpisano ostrosłup prawidłowy czworokątny o objętości \(\displaystyle{ \frac{16}{3}\:cm^{3}}\). Oblicz wysokość tego ostrosłupa.

W odpowiedziach mam 'normalne' wyniki (\(\displaystyle{ h=2}\) albo \(\displaystyle{ h=(1+ \sqrt{5}}\)), a ja próbuje zrobić to z twierdzeniem Pitagorasa, ale wychodzą mi jakieś wielomiany wysokiego stopnia.

Jakiś pomysł jak można to rozwiązać?

[SlotaWoj]

\(\displaystyle{ R=2\:cm\\
V=\frac{16}{3}\:cm^3}\)
\(\displaystyle{ p}\) – przekątna podstawy.

• \(\displaystyle{ \begin{cases}V=\frac{1}{3}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}p\right)^2h=\frac{1}{6}p^2h \ \ \Rightarrow \ \ p^2=\frac{6V}{h}\\
  \left(h-R\right)^2+\frac{1}{4}p^2=R^2\end{cases}}\)

Podstawić z pierwszego i wychodzi równanie sześcienne, dla którego jeden pierwiastek łatwo znaleźć, więc pozostałe też łatwo można obliczyć.

Edit: 2018-04-06 15:05

Poprawa wyrażenia w nawiasie.

[reznovv]

\(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2h=\frac{1}{6}p^2h \ \ \Rightarrow \ \ p^2=\frac{6V}{h}}\)

Dzięki, ale skąd się wzięło to wyrażenie w nawiasie?-- 6 kwi 2018, o 10:45 --Dobra już rozumiem, pole kwadratu z przekątną, dzięki!

[Belf]

To pomyłka.

\(\displaystyle{ p=a\cdot \sqrt{2} \Leftrightarrow a= \frac{p}{ \sqrt{2} }= \frac{p \sqrt{2} }{2}}\) i tak powinien wyglądać ten nawias.

[SlotaWoj]

„Zgubiłem” \(\displaystyle{ p}\).
Belf już wyjaśnił, a post poprawiłem.

[kruszewski]

Korzystając z tego, że stosunek objętości stożka i ostrosłupa o równych wysokościach jest równy:

\(\displaystyle{ \frac{V_{st}}{V_{ost}}= \pi \frac{r^2}{a^2}}\)
a dla ostrosłupa prawidłowego o przekątnej podstawy równej średnicy podstawy stożka


\(\displaystyle{ \frac{V_{st}}{V_{ost}}= \pi \frac{r^2}{a^2} = \pi \left( \frac{a^2}{2a^2}\right)= \frac{ \pi }{2}}\)

Jeżeli wysokość stożka (ostrosłupa) h = R + x i korzystając z wzoru na ,objętość stożka
(vidi: & ... Ltgb2bX3-E)

\(\displaystyle{ V_{st} = \frac{ \pi }{2} \cdot \frac{16}{3 }= \frac{ \pi }{3} \left(2^3 + 2^2x - 2x^2 - x^3 \right)}\)
Rozwiązując względem \(\displaystyle{ x}\)
otrzymujemy: \(\displaystyle{ x_1 = 0}\),
i \(\displaystyle{ h_1= R+0 = 2}\)
co oznacza że objętość zadaną w treści zadania będzie mieć ostrosłup o przekątnej podstawy równej średnicy kuli.
I jest pierwsze książkowe rozwiązanie ,

oraz : \(\displaystyle{ x_2 = \frac{-2 \pm 2 \sqrt{5} }{2}}\)
wtedy wysokość ostrosłupa
\(\displaystyle{ h_2 = R+ x = 2-1+ \sqrt{5} = 1 + \sqrt{5}}\)

jest to drugie książkowe rozwiązanie.