O ścianach

Sześciany. Wielościany. Kule. Inne bryły. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa w przestrzeni.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

O ścianach

Post autor: a4karo »

Pokaż, że każdy wielościan ma przynajmniej dwie ściany o tej samej liczbie krawędzi (Math. Mag. 1963)
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: O ścianach

Post autor: kerajs »

Załóżmy że istnieje bryła o ścianach będących wielokątami o różnej ilości kątów. Niech ścianą tej bryły o największej liczbie krawędzi będzie \(\displaystyle{ n}\)-kąt.
a) \(\displaystyle{ n}\)-kąt musi sąsiadować z \(\displaystyle{ n}\) innymi ścianami dzieląc z każdą z nich po jednej ze swoich krawędzi. Dlatego bryła jest co najmniej \(\displaystyle{ (n+1)}\)-ścianem.
b) Skoro \(\displaystyle{ n}\)-kąt jest ścianą o największej ilości krawędzi to bryła może być co najwyżej \(\displaystyle{ (n-2)}\)-ścianem (skoro w najlepszej sytuacji zawiera trójkąt, czworokąt, ...., \(\displaystyle{ n}\)-kąt).
Sprzeczność warunków a) i b) wyklucza prawdziwość założenia.
Ostatnio zmieniony 9 mar 2018, o 14:30 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
ODPOWIEDZ