Graniastosłup prawidłowy \(\displaystyle{ ABCD{}EFGH}\) o podstawie kwadratowej \(\displaystyle{ ABCD}\) przecięto płaszczyzną \(\displaystyle{ BDL}\), gdzie punkt \(\displaystyle{ L}\) należy do przekątnej \(\displaystyle{ EG}\) i \(\displaystyle{ E \neq L \neq G.}\) Wyznacz długość odcinka \(\displaystyle{ GL}\), dla którego pole przekroju graniastosłupa płaszczyzną jest największe, gdy \(\displaystyle{ |AB|=2}\) i \(\displaystyle{ |AE|=3}\).
Graniastosłup prawidłowy
-
terminator3000+
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 12 lut 2018, o 21:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 2 razy
Graniastosłup prawidłowy
Ostatnio zmieniony 25 lut 2018, o 16:05 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .
-
MrCommando
- Użytkownik
- Posty: 554
- Rejestracja: 5 gru 2016, o 21:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Płock/MiNI PW
- Podziękował: 48 razy
- Pomógł: 107 razy
-
terminator3000+
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 12 lut 2018, o 21:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 2 razy
Re: Graniastosłup prawidłowy
Na rysunku oczywiście trapez, a wg mnie długość \(\displaystyle{ GL}\) musi się równać połowie przekątnej kwadratu, wtedy pole będzie prostokątem. Nie wiem tylko jak utworzyć zależność potrzebną do pochodnej.
Ostatnio zmieniony 25 lut 2018, o 18:49 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
-
MrCommando
- Użytkownik
- Posty: 554
- Rejestracja: 5 gru 2016, o 21:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Płock/MiNI PW
- Podziękował: 48 razy
- Pomógł: 107 razy
Graniastosłup prawidłowy
Oznaczmy środek odcinka \(\displaystyle{ EG}\) jako \(\displaystyle{ O}\), a następnie niech \(\displaystyle{ |GL|=x}\). Wówczas \(\displaystyle{ |OL|=\sqrt{2}-x}\). Niech \(\displaystyle{ X, Y}\) będą odpowiednio punktami wspólnymi danego przekroju i odcinków \(\displaystyle{ FG}\) i \(\displaystyle{ GH}\). Z podobieństwa trójkątów \(\displaystyle{ HFG}\) i \(\displaystyle{ XYG}\) możesz w zależności od \(\displaystyle{ x}\) wyznaczyć długość podstawy \(\displaystyle{ XY}\) trapezu. W tym momencie potrzebujemy tylko wysokości. Niech zatem \(\displaystyle{ S}\) będzie rzutem prostokątnym punktu \(\displaystyle{ O}\) na płaszczyznę \(\displaystyle{ ABCD}\). Wykorzystaj twierdzenie Pitagorasa w trójkącie prostokątnym \(\displaystyle{ SOL}\), aby wyznaczyć wysokość \(\displaystyle{ LS}\) trapezu.
-
Dilectus
- Użytkownik
- Posty: 2662
- Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 369 razy
Re: Graniastosłup prawidłowy
Niech
\(\displaystyle{ a=2}\) - podstawa graniastosłupa
\(\displaystyle{ b=3}\) - wysokość graniastosłupa
\(\displaystyle{ \left| LG\right|=x}\)
\(\displaystyle{ a \sqrt{2}}\) - podstawa trapezu
Zauważmy, że górna podstawa trapezu jest równa \(\displaystyle{ 2x}\), a jego wysokość (tw. Pitagorasa)
\(\displaystyle{ h= \sqrt{\left( a \frac{ \sqrt{2} }{2}-x\right) ^2 +b^2 }}\)
Pole trapezu
\(\displaystyle{ S= \frac{a \sqrt{2}+2x }{2}\cdot h=\frac{a \sqrt{2}+2x }{2}\cdot\sqrt{\left( a \frac{ \sqrt{2} }{2}-x\right) ^2 +b^2 }}\)
Jak łatwo sprawdzić, ta funkcja jest stale rosnąca. Zatem pole trapezu będzie maksymalne, gdy .........
\(\displaystyle{ a=2}\) - podstawa graniastosłupa
\(\displaystyle{ b=3}\) - wysokość graniastosłupa
\(\displaystyle{ \left| LG\right|=x}\)
\(\displaystyle{ a \sqrt{2}}\) - podstawa trapezu
Zauważmy, że górna podstawa trapezu jest równa \(\displaystyle{ 2x}\), a jego wysokość (tw. Pitagorasa)
\(\displaystyle{ h= \sqrt{\left( a \frac{ \sqrt{2} }{2}-x\right) ^2 +b^2 }}\)
Pole trapezu
\(\displaystyle{ S= \frac{a \sqrt{2}+2x }{2}\cdot h=\frac{a \sqrt{2}+2x }{2}\cdot\sqrt{\left( a \frac{ \sqrt{2} }{2}-x\right) ^2 +b^2 }}\)
Jak łatwo sprawdzić, ta funkcja jest stale rosnąca. Zatem pole trapezu będzie maksymalne, gdy .........