Wyznacz stosunek objętości kuli do objętości ostrosłupa prawidłowego czworokątnego opisanego na tej kuli, jeśli przekrój ostrosłupa zawierający dwie jego krawędzie boczne jest trójkątem:
a) równobocznym
Moim problemem jest tutaj wyznaczanie promienia tej kuli, wiem że będzie on taki sam jak promień okręgu wpisanego w trójkąt równoramienny ale nie umiem tego obliczyć.
Za obliczenia będę wdzięczny
Stosunek objętości kuli do opisanego na niej ostrosłupa
-
MrCommando
- Użytkownik
- Posty: 554
- Rejestracja: 5 gru 2016, o 21:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Płock/MiNI PW
- Podziękował: 48 razy
- Pomógł: 107 razy
Stosunek objętości kuli do opisanego na niej ostrosłupa
Pierwsza myśl jest taka, żeby skorzystać z tego, że objętość całej bryły możemy zapisać na kilka sposobów.
Niech \(\displaystyle{ ABCDS}\) będzie danym ostrosłupem a \(\displaystyle{ O}\) środkiem kuli wpisanej. Ponieważ kula jest styczna do wszystkich ścian ostrosłupa, to objętość ostrosłupa \(\displaystyle{ ABCDS}\) będzie sumą objętości ostrosłupów \(\displaystyle{ ABCDO}\), \(\displaystyle{ BCSO}\), \(\displaystyle{ CDSO}\), \(\displaystyle{ ADSO}\) i \(\displaystyle{ ABSO}\), których wysokości są równe promieniowi kuli wpisanej. Pola powierzchni podstaw tych ostrosłupów możesz dość prosto obliczyć. Następnie porównaj sumę tych objętości z objętością całej bryły.
Niech \(\displaystyle{ ABCDS}\) będzie danym ostrosłupem a \(\displaystyle{ O}\) środkiem kuli wpisanej. Ponieważ kula jest styczna do wszystkich ścian ostrosłupa, to objętość ostrosłupa \(\displaystyle{ ABCDS}\) będzie sumą objętości ostrosłupów \(\displaystyle{ ABCDO}\), \(\displaystyle{ BCSO}\), \(\displaystyle{ CDSO}\), \(\displaystyle{ ADSO}\) i \(\displaystyle{ ABSO}\), których wysokości są równe promieniowi kuli wpisanej. Pola powierzchni podstaw tych ostrosłupów możesz dość prosto obliczyć. Następnie porównaj sumę tych objętości z objętością całej bryły.
-
Dilectus
- Użytkownik
- Posty: 2662
- Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 369 razy
Re: Stosunek objętości kuli do opisanego na niej ostrosłupa
Niech
\(\displaystyle{ a}\) - długość boku podstawy ostrosłupa
\(\displaystyle{ b}\) - długość krawędzi bocznej ostrosłupa
\(\displaystyle{ h}\) - wysokość ostrosłupa
Łatwo widać, że \(\displaystyle{ b=a \sqrt{2}}\)
Jeśli przekrój ostrosłupa zawierający dwie jego krawędzie boczne jest trójkątem równobocznym, to długość boku tego trójkąta jest równa długości krawędzi bocznej ostrosłupa, a jednocześnie długością przekątnej podstawy. Mamy zatem
\(\displaystyle{ b=a \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)
\(\displaystyle{ h=b \frac{ \sqrt{3} }{2}=a \sqrt{2}\frac{ \sqrt{3} }{2}}\)
Przekrój ostrosłupa płaszczyzną przechodzącą przez środek przeciwległych boków podstawy jest trójkątem równoramiennym o podstawie \(\displaystyle{ a}\) i wysokości \(\displaystyle{ h}\)
Jego bok \(\displaystyle{ c}\), będący wysokością ściany bocznej ostrosłupa znajdziemy z tw. Pitagorasa
\(\displaystyle{ c^2= \left( \frac{1}{2}a\right) ^2+h^2= \frac{1}{4}a^2+a^2 \frac{6}{4} = \frac{7}{4}a^2}\)
Mamy więc znaleźć promień okręgu wpisanego w trójkąt równoramienny o podstawie \(\displaystyle{ a}\) i boku \(\displaystyle{ c}\)
Wiadomo, że promień okręgu wpisanego w trójkąt o bokach \(\displaystyle{ p, \ q, \ t}\) wyraża się wzorem
\(\displaystyle{ r= \frac{2S}{p+q+t}}\), gdzie \(\displaystyle{ S}\) - pole trójkąta
Dalej dasz radę sam?
\(\displaystyle{ a}\) - długość boku podstawy ostrosłupa
\(\displaystyle{ b}\) - długość krawędzi bocznej ostrosłupa
\(\displaystyle{ h}\) - wysokość ostrosłupa
Łatwo widać, że \(\displaystyle{ b=a \sqrt{2}}\)
Jeśli przekrój ostrosłupa zawierający dwie jego krawędzie boczne jest trójkątem równobocznym, to długość boku tego trójkąta jest równa długości krawędzi bocznej ostrosłupa, a jednocześnie długością przekątnej podstawy. Mamy zatem
\(\displaystyle{ b=a \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)
\(\displaystyle{ h=b \frac{ \sqrt{3} }{2}=a \sqrt{2}\frac{ \sqrt{3} }{2}}\)
Przekrój ostrosłupa płaszczyzną przechodzącą przez środek przeciwległych boków podstawy jest trójkątem równoramiennym o podstawie \(\displaystyle{ a}\) i wysokości \(\displaystyle{ h}\)
Jego bok \(\displaystyle{ c}\), będący wysokością ściany bocznej ostrosłupa znajdziemy z tw. Pitagorasa
\(\displaystyle{ c^2= \left( \frac{1}{2}a\right) ^2+h^2= \frac{1}{4}a^2+a^2 \frac{6}{4} = \frac{7}{4}a^2}\)
Mamy więc znaleźć promień okręgu wpisanego w trójkąt równoramienny o podstawie \(\displaystyle{ a}\) i boku \(\displaystyle{ c}\)
Wiadomo, że promień okręgu wpisanego w trójkąt o bokach \(\displaystyle{ p, \ q, \ t}\) wyraża się wzorem
\(\displaystyle{ r= \frac{2S}{p+q+t}}\), gdzie \(\displaystyle{ S}\) - pole trójkąta
Dalej dasz radę sam?