Rzut prostokątny wielościanu na płaszczyznę

[PokEmil]

W I etapie IV OMG pojawiło się zadanie o treści: "Czy istnieje taki wielościan, którego rzuty prostokątne na pewne trzy płaszczyzny są odpowiednio czworokątem, sześciokątem i ośmiokątem? Odpowiedź uzasadnij". Poszukiwając rozwiązania, znalazłem, że podanym wielościanem może być graniastosłup prawidłowy sześciokątny. Szukane rzuty prostokątne to sześciokąt foremny jako podstawa, czworokąt jako ściany boczne oraz ośmiokąt jako rzut "pod kątem". Moim pytaniem jest, czy ośmiokąt ten można nazwać rzutem prostokątnym, czy rzut prostokątny może być wykonany pod dowolnym kątem, np. czy rzutem prostokątnym prostopadłościanu (oprócz czworokątu) może być także sześciokąt? Dziękuję za odpowiedź!

[kerajs]

Przypuszczam, że błędnie założyłeś konieczność wzajemnej prostopadłość rzutni (płaszczyzn na które bryła jest rzutowana). Mogą one być położone względem siebie w dowolny sposób.

Jeśli w obu poniższych rysunkach rzutnią będzie płaszczyzna ekranu to rzutem:
a) graniastosłupa o podstawie sześciokątnej jest ośmiokąt:
\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture}[z=-0.7cm,thick,scale=1]
\draw[red] (-2.5,0,0)--(-1,-1,0)--(1,-1,0)--(2.5,0,0)--(1,1,0)--(-1,1,0)--(-2.5,0,0);
\draw[red] (-2.5,0,0)--(-2.5,0,-4)--(-1,1,-4)--(1,1,-4)--(2.5,0,-4)--(2.5,0,0);
\draw[red] (-1,1,-4)--(-1,1,0);
\draw[red] (1,1,-4)--(1,1,0);
\end{tikzpicture}}\)

b) prostopadłościanu jest sześciokąt:
\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture}[z=-0.5cm,thick,scale=1]
\draw[red] (-2,0,0)--(0,-1,0)--(2,0,0)--(0,1,0)--(-2,0,0);
\draw[red] (-2,0,0)--(-2,0,4)--(0,-1,4)--(2,0,4)--(2,0,0);
\draw[red] (0,-1,4)--(0,-1,0)--(2,0,0);
\end{tikzpicture}}\)

Przykład bryły która ma wymagane rzuty na prostopadłych rzutniach:
\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture}[z=-0.5cm,thick,scale=1]
\draw[blue] (3,-3,1)--(-3,-3,1)--(-3,3,1)--(-3,3,-1)--(3,3,-1)--(3,-3,-1)--(3,-3,1)--(3,3,1)--(3,3,-1);
\draw[blue] (3,-3,1)--(1.5,0,3)--(3,3,1)--(-3,3,1)--(-1.5,0,3)--(-3,-3,1)--(-1.5,0,3)--(1.5,0,3);
\draw[blue][dashed] (-3,3,-1)--(-3,-3,-1)--(3,-3,-1)--(1.5,0,-3)--(3,3,-1)--(-3,3,-1)--(-1.5,0,-3)--(1.5,0,-3)--(-1.5,0,-3)--(-3,-3,-1)--(-3,-3,1);
\end{tikzpicture}}\)

[kruszewski]

Świetny pomysł! choć nie rozumiem polecenia "uzasadnij".