Wykazać, że objętość kuli wpisanej w stożek nie przewyższa połowy objętości tego stożka
\(\displaystyle{ r}\)-promień wpisanego
\(\displaystyle{ R}\)- promień podstawy stożka
\(\displaystyle{ h}\)- wysokość stożka
Wiem, że \(\displaystyle{ r = \frac{hR}{ \sqrt{R^2+h^2} +R}}\)
I jak dalej to przyrównać?
Wykazać, że objętość kuli wpisanej w stożek
-
piasek101
- Użytkownik
- Posty: 23495
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3264 razy
Re: Wykazać, że objętość kuli wpisanej w stożek
Może tak (do końca nie robiłem).
Uwaga: przyjąłem, że R (to kuli).
Z podobieństwa trójkątów \(\displaystyle{ \frac{r}{h}=\frac{R}{\sqrt {h^2-2hR}}}\)
Z tego (po przekształceniach - jak się nie pomyliłem) \(\displaystyle{ r^2=R^2 \left (\frac{h}{h-2R}\right)}\)
To wstawiam do ilorazu objętości : \(\displaystyle{ \frac{V_s}{V_k}=\frac{\frac{1}{3}\pi r^2 h}{\frac{4}{3}\pi R^3}}\) przekształcam, podstawiam \(\displaystyle{ x=\frac{R}{h}}\) (zastanawiając się jaki może być x) i wyznaczam zbiór wartości otrzymanej funkcji ilorazu objętości w zależności od x (w narzuconym przez dziedzinę przedziale) - powinno wyjść co trzeba.
Możliwe, że jest jakiś łatwiejszy sposób.
Uwaga: przyjąłem, że R (to kuli).
Z podobieństwa trójkątów \(\displaystyle{ \frac{r}{h}=\frac{R}{\sqrt {h^2-2hR}}}\)
Z tego (po przekształceniach - jak się nie pomyliłem) \(\displaystyle{ r^2=R^2 \left (\frac{h}{h-2R}\right)}\)
To wstawiam do ilorazu objętości : \(\displaystyle{ \frac{V_s}{V_k}=\frac{\frac{1}{3}\pi r^2 h}{\frac{4}{3}\pi R^3}}\) przekształcam, podstawiam \(\displaystyle{ x=\frac{R}{h}}\) (zastanawiając się jaki może być x) i wyznaczam zbiór wartości otrzymanej funkcji ilorazu objętości w zależności od x (w narzuconym przez dziedzinę przedziale) - powinno wyjść co trzeba.
Możliwe, że jest jakiś łatwiejszy sposób.