Mam problem z zadaniem:
Pole ściany bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe \(\displaystyle{ P}\) a krawędź boczna tworzy z krawędzią podstawy kąt \(\displaystyle{ \alpha}\). Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Wynik powinien wyjść: \(\displaystyle{ V= \frac{4}{3}\ctg\alpha \cdot\sqrt{P^{3}(\tg \alpha -\ctg \alpha)}}\)
Objętość ostrosłupa
-
wujomaro
- Użytkownik
- Posty: 2154
- Rejestracja: 27 lis 2009, o 19:02
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 11 razy
- Pomógł: 299 razy
Re: Objętość ostrosłupa
Proponuję wprowadzić sobie jeszcze \(\displaystyle{ 2}\) dodatkowe literki: \(\displaystyle{ a}\) jako krawędź podstawy oraz \(\displaystyle{ h}\) jako wysokość ściany bocznej. Teraz zapisujesz \(\displaystyle{ 2}\) równania, jedno to \(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}ah}\) a drugim wiążesz kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) z dwiema nowymi literkami. Teraz Możesz wyznaczyć sobie za pomocą \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ \alpha}\) wartości \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ h}\), i z tego już powinno być łatwo wyznaczyć objętość bryły.
Pozdrawiam!
Pozdrawiam!
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Objętość ostrosłupa
Proszę wykonać rysunek.
Objętość ostrosłupa:
\(\displaystyle{ V = \frac{1}{3}a^2\cdot H}\) (0)
Pole ściany bocznej ostrosłupa
\(\displaystyle{ P = \frac{1}{2}a\cdot h}\) (1)
Tangens kąta nachylenia krawędzi bocznej do krawędzi podstawy
\(\displaystyle{ \tg(\alpha) = \frac{h}{\frac{1}{2}h}}\) (2)
\(\displaystyle{ h = \frac{1}{2}a\cdot \tg(\alpha)}\) (3)
Z (3) (1)
\(\displaystyle{ P = \frac{1}{2}a\cdot \frac{1}{2}a\cdot \tg(\alpha)= \frac{1}{4}a^2\cdot \tg(\alpha)}\)(4)
Z (4)
\(\displaystyle{ a^2 = \frac{4P}{\tg(\alpha)}}\)
\(\displaystyle{ a = \frac{2\sqrt{P}}{\sqrt{\tg(\alpha)}}}\) (5)
Z (5) i (3)
\(\displaystyle{ h =\frac{\sqrt{P}}{\sqrt{\tg(\alpha)}}\cdot \tg(\alpha)= \sqrt{P\cdot \tg(\alpha)}}\) (6)
Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego, o przeciwprostokątnej równej wysokości ściany bocznej \(\displaystyle{ h}\) i przyprostokątnych równych \(\displaystyle{ \frac{1}{2}a}\) i \(\displaystyle{ H}\)
\(\displaystyle{ H^2 +\left(\frac{1}{2}a \right)^2 = h^2}\)
\(\displaystyle{ H^2 = h^2 - \frac{1}{4}a^2}\) (7)
Podstawiając (5), (6) do (7)
\(\displaystyle{ H^2 = P}\cdot \tg(\alpha)}- \frac{P}{\tg(\alpha)}.}\)
\(\displaystyle{ H = \sqrt{P\cdot \tg(\alpha)- \frac{P}{\tg(\alpha)}}}\) (8)
Podstawiając (8) i (5) do (0), otrzymujemy wzór na objętość ostrosłupa
\(\displaystyle{ V =\frac{4}{3}\frac{P}{\tg(\alpha)}\cdot \sqrt{P\cdot \tg(\alpha)- \frac{P}{\tg(\alpha)}}.}\)
\(\displaystyle{ V = \frac{4}{3}\ctg(\alpha)\cdot \sqrt{P^3\cdot \tg(\alpha) - P^3\cdot \ctg(\alpha)}}\)
\(\displaystyle{ V = \frac{4}{3}\ctg(\alpha)\cdot \sqrt{P^3[\tg(\alpha) - \ctg(\alpha)]}.}\)
Założenie:
\(\displaystyle{ tg(\alpha)- ctg(\alpha) > 0, \ \ \frac{\pi}{4} < \alpha< \frac{\pi}{2}.}\)
Objętość ostrosłupa:
\(\displaystyle{ V = \frac{1}{3}a^2\cdot H}\) (0)
Pole ściany bocznej ostrosłupa
\(\displaystyle{ P = \frac{1}{2}a\cdot h}\) (1)
Tangens kąta nachylenia krawędzi bocznej do krawędzi podstawy
\(\displaystyle{ \tg(\alpha) = \frac{h}{\frac{1}{2}h}}\) (2)
\(\displaystyle{ h = \frac{1}{2}a\cdot \tg(\alpha)}\) (3)
Z (3) (1)
\(\displaystyle{ P = \frac{1}{2}a\cdot \frac{1}{2}a\cdot \tg(\alpha)= \frac{1}{4}a^2\cdot \tg(\alpha)}\)(4)
Z (4)
\(\displaystyle{ a^2 = \frac{4P}{\tg(\alpha)}}\)
\(\displaystyle{ a = \frac{2\sqrt{P}}{\sqrt{\tg(\alpha)}}}\) (5)
Z (5) i (3)
\(\displaystyle{ h =\frac{\sqrt{P}}{\sqrt{\tg(\alpha)}}\cdot \tg(\alpha)= \sqrt{P\cdot \tg(\alpha)}}\) (6)
Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego, o przeciwprostokątnej równej wysokości ściany bocznej \(\displaystyle{ h}\) i przyprostokątnych równych \(\displaystyle{ \frac{1}{2}a}\) i \(\displaystyle{ H}\)
\(\displaystyle{ H^2 +\left(\frac{1}{2}a \right)^2 = h^2}\)
\(\displaystyle{ H^2 = h^2 - \frac{1}{4}a^2}\) (7)
Podstawiając (5), (6) do (7)
\(\displaystyle{ H^2 = P}\cdot \tg(\alpha)}- \frac{P}{\tg(\alpha)}.}\)
\(\displaystyle{ H = \sqrt{P\cdot \tg(\alpha)- \frac{P}{\tg(\alpha)}}}\) (8)
Podstawiając (8) i (5) do (0), otrzymujemy wzór na objętość ostrosłupa
\(\displaystyle{ V =\frac{4}{3}\frac{P}{\tg(\alpha)}\cdot \sqrt{P\cdot \tg(\alpha)- \frac{P}{\tg(\alpha)}}.}\)
\(\displaystyle{ V = \frac{4}{3}\ctg(\alpha)\cdot \sqrt{P^3\cdot \tg(\alpha) - P^3\cdot \ctg(\alpha)}}\)
\(\displaystyle{ V = \frac{4}{3}\ctg(\alpha)\cdot \sqrt{P^3[\tg(\alpha) - \ctg(\alpha)]}.}\)
Założenie:
\(\displaystyle{ tg(\alpha)- ctg(\alpha) > 0, \ \ \frac{\pi}{4} < \alpha< \frac{\pi}{2}.}\)