Największa objętość stożka o polu powierzchni bocznej 4m^2

[iosonobello1991]

Zadanie brzmi: Wśród stożków o polu powierzchni bocznej równej \(\displaystyle{ 4m^{2}}\) znajdź taki, który ma największą objętość ? Odpowiedź uzasadnij,

Skorzystałem ze wzoru na pole powierzchni bocznej stożka tj. \(\displaystyle{ \pi rl=4m^{2}}\) co daje mi \(\displaystyle{ l=\frac{4m^{2}}{\pi r}}\).

Następnie z Tw. Pitagorasa wyznaczam H zależne od r i l (l już mam uzależnione od znanego m i nieznanego r) i otrzymuję \(\displaystyle{ H^{2}=(\frac{4m^{2}}{\pi r})^{2}-r^{2}}\).

Otrzymane zależności wstawiam do wzoru na objętość stożka \(\displaystyle{ V= \frac{1}{3} \pi r^{2} \sqrt{(\frac{4m^{2}}{\pi r})^{2}-r^{2}}}\) i stoję.

Liczyć pochodną po r i przyrównywać do zera ?

Pzdr

[Premislav]

Zadanie brzmi: Wśród stożków o polu powierzchni bocznej równej \(\displaystyle{ 4m^{2}}\) znajdź taki, który ma największą objętość ?

Niestety nie wiem, czy tak brzmi.
Dla wyjaśnienia: nie powinno tam być żadnego znaku zapytania (wyszło tak, jakbyś się upewniał, czy treść zadania brzmi tak jak napisałeś).
Wśród stożków o polu powierzchni bocznej równej \(\displaystyle{ 4m^{2}}\) znajdź taki, który ma największą objętość
to zdanie rozkazujące.
Moim zdaniem trochę nie ogarnąłeś, że \(\displaystyle{ m^2}\) to oznaczenie metrów kwadratowych, a Ty to potraktowałeś jak jakiś kwadrat parametru \(\displaystyle{ m}\).
Ale to nie ma wielkiego znaczenia (wstaw tam jedynkę zamiast tego \(\displaystyle{ m^2}\) i tyle, można też rozwiązywać ogólniejsze zadanie, przyjmując że pole powierzchni bocznej wynosi ustalone \(\displaystyle{ S>0}\)). Reszta raczej OK.
Zauważ, że zamiast maksymalizować tę objętość, możesz maksymalizować kwadrat tej objętości, ponieważ dla \(\displaystyle{ V>0}\) funkcja \(\displaystyle{ y(V)=V^2}\) jest rosnąca (więc maksymalna objętość jet przyjmowana dla takiego samego stożka, dla jakiego przyjmowany jest maksymalny kwadrat objętości). A wówczas będziesz miał znacznie prostsze pochodne.

[iosonobello1991]

Przepisałem jak małpa znak zapytania tak jak podał prowadzący Fakt, głupio to wygląda, pewnie korzystał z treści innego zadania i zapomniał skasować, ale mniejsza o to.
Dziękuję za wskazówkę, ale obawiam się, że to by było za proste gdyby Pb wynosiła po prostu 4 Pozostałe zadania tego typu brzmią: "Wśród prostopadłościanów o przekątnej równej\(\displaystyle{ \sqrt{3} a}\) (a>0), znajdź taki....." ( nie jest powiedziane, że to prostopadłościan np. o podstawie kwadratu o boku a, po prostu to parametr dla utrudnienia zadania i otrzymania wyniku w formie algebraicznej a nie liczbowej), "Wśród prostopadłościanów o sumie wszystkich krawędzi równej 4d, znajdź taki...", tu również d nie ma żadnego odzwierciedlenia w treści, więc obawiam się, że nie podaliby mi pola po prostu 4, pozostaje dopytać, ale chyba będzie tak jak mówisz, bo ta pochodna z m wychodzi przekosmiczna i nic w zasadzie nie da się z niej wydobyć
Pzdr

[Premislav]

OK, to rozważmy ogólniejsze zadanie wobec powstania takich wątpliwości. Tak naprawdę przekonasz się, że to nic nie zmienia (poza szczegółami obliczeniowymi), jak najbardziej da się coś wydobyć. Jeśli miało być jednak jakieś \(\displaystyle{ m}\) - ustalony parametr a nie zmienna, to przecież pochodna jest liniowa, więc w szczególności
jeśli \(\displaystyle{ c}\) jest stałą, zaś \(\displaystyle{ f(r)}\) funkcją różniczkowalną, to
\(\displaystyle{ (c\cdot f(r))'=c\cdot f'(r)}\)
Popatrzmy więc na takie uogólnienie (a być może wcale nie uogólnienie, tylko równoważne sformułowanie, jeśli \(\displaystyle{ m}\) jest parametrem):
wśród stożków o polu powierzchni bocznej równym \(\displaystyle{ S>0}\) znajdź stożek o największej objętości.
Analogiczne obliczenia do Twoich (Pitagoras do wyliczenia wysokości, wzór na pole powierzchni bocznej stożka) dają nam
\(\displaystyle{ V(r)=\frac 1 3\pi r^2 \sqrt{ \frac{S^2}{\pi^2r^2}-r^2 }}\)
(jeszcze należałoby wspomnieć o dziedzinie, tj. ma być \(\displaystyle{ \frac{S^2}{r^2}-r^2>0}\), tj. \(\displaystyle{ 0<r<\sqrt{S}}\))
i teraz, jak pisałem, zmaksymalizuję \(\displaystyle{ V^2(r)}\), żeby się ładniej pochodne liczyło:
\(\displaystyle{ V^2(r)=\frac 1 9 \pi^2 r^4\left( \frac{S^2}{\pi^2r^2}-r^2\right)=\\=\frac{1}{9}r^2S^2-\frac 1 9\pi^2 r^6}\)
Pochodna tego okropieństwa wynosi
\(\displaystyle{ \frac 2 9r S^2-\frac 2 3\pi^2 r^5}\)
a to jest równe \(\displaystyle{ 0}\) wtedy i tylko wtedy, gdy
\(\displaystyle{ r=0 \vee r^4=\frac 1 3 \frac{S^2}{\pi^2}}\)
tj.
\(\displaystyle{ r= \sqrt[4]{\frac 1 3 \frac{S^2}{\pi^2}}}\)
(\(\displaystyle{ r=0}\) oraz \(\displaystyle{ r=-\sqrt[4]{\frac 1 3 \frac{S^2}{\pi^2}}}\) odrzucamy, bo \(\displaystyle{ r}\) to w końcu promień podstawy, z natury rzeczy dodatni).
Po zapisaniu
\(\displaystyle{ \frac 2 9r S^2-\frac 2 3\pi^2 r^5=\frac 2 9r\left( S^2-3\pi^2r^4\right)}\)
widzimy, że w punkcie \(\displaystyle{ r_0= \sqrt[4]{\frac 1 3 \frac{S^2}{\pi^2}}}\)
pochodna zmienia znak z dodatniego na ujemny, zatem jest w tym punkcie przyjmowane maksimum \(\displaystyle{ V^2(r)}\), a więc i maksimum \(\displaystyle{ V(r)}\).

[iosonobello1991]

Tak mi to mniej więcej wychodziło, nie wpadłem jednak na pomysł kwadratowania objętości Dziękuję