Skośne i sfera

[mol_ksiazkowy]

Czy dla dowolnych punktów \(\displaystyle{ A_1}\) i \(\displaystyle{ A_2}\) na skośnych prostych \(\displaystyle{ l_1}\) i \(\displaystyle{ l_2}\) w przestrzeni istnieje (i czy tylko jedna) sfera styczna do tych prostych w tych właśnie punktach ?

[kerajs]

Środek sfery powinien leżeć na płaszczyźnie prostopadłej do odcinka \(\displaystyle{ A_1A_2}\) i przechodzącej przez jego środek (to zbiór punktów równoodległych od \(\displaystyle{ A_1}\) i \(\displaystyle{ A_2}\)). Powinien także leżeć w płaszczyźnie prostopadłej do prostej \(\displaystyle{ l_1}\) i przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ A_1}\) oraz powinien leżeć w płaszczyźnie prostopadłej do prostej \(\displaystyle{ l_2}\) i przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ A_2}\). Wektor \(\displaystyle{ A_1A_2}\) nie może być kombinacją liniową nierównoległych wektorów kierunkowych danych prostych, więc wspomniane powyżej płaszczyzny (których te wektory są wektorami normalnymi) przecinają się zawsze tylko w jednym punkcie. Punkcie będącym środkiem jedynej sfery spełniającej treść zadania.