Strona 1 z 1

Prosta, płaszczyzna i jeden punkt wspólny

: 18 sie 2017, o 10:26
autor: WolfusA
Mam następujące twierdzenie do udowodnienia i proszę o sprawdzenie, czy nie ma niedomówień i czy samo twierdzenie jest poprawne.

Twierdzenie w przestrzeni: Rozważmy prostą \(\displaystyle{ k}\) i płaszczyznę \(\displaystyle{ \pi}\) takie, że \(\displaystyle{ k \perp \pi}\). Wówczas jeśli \(\displaystyle{ \left| k ^{'} \cap \pi \right| \ge 1}\), gdzie \(\displaystyle{ k ^{'}}\) jest dowolną prostą prostopadłą do prostej \(\displaystyle{ k}\), to \(\displaystyle{ k^{'} \in \pi}\).

Dowód: Niech prosta \(\displaystyle{ k^{'}}\) ma dokładnie jeden punkt wspólny z płaszczyzną \(\displaystyle{ \pi}\).
Wówczas prosta \(\displaystyle{ k^{'}}\) i płaszczyzna \(\displaystyle{ \pi}\) nie są równoległe. A ponieważ \(\displaystyle{ k \perp \pi}\), to proste \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ k^{'}}\) nie są prostopadłe. Otrzymana sprzeczność kończy dowód.

Re: Prosta, płaszczyzna i jeden punkt wspólny

: 23 sie 2017, o 01:54
autor: jutrvy
Twierdzenie jest prawdziwe, dowód nie. Sprzeczność z czym? o_O

Re: Prosta, płaszczyzna i jeden punkt wspólny

: 23 sie 2017, o 07:54
autor: WolfusA
Z założeniem, że prosta \(\displaystyle{ k ^{'}}\) jest prostopadła do prostej \(\displaystyle{ k}\). Napisałem to założenie.

Re: Prosta, płaszczyzna i jeden punkt wspólny

: 23 sie 2017, o 08:31
autor: Cytryn
Każda prosta, która przecina płaszczyznę w dwóch punktach, musi na niej leżeć w calości, bo jest przez te dwa punkty jednoznacznie wyznaczona. Informacja o tym, że \(\displaystyle{ k'}\) jest prostopadła do \(\displaystyle{ k}\) nie ma znaczenia.

Re: Prosta, płaszczyzna i jeden punkt wspólny

: 23 sie 2017, o 08:38
autor: WolfusA
W założeniu jest informacja, o co najmniej jednym punkcie wspólnym, a nie dwóch

Re: Prosta, płaszczyzna i jeden punkt wspólny

: 23 sie 2017, o 08:50
autor: a4karo
A czy może mieć półtora punktu wspólnego?

Re: Prosta, płaszczyzna i jeden punkt wspólny

: 23 sie 2017, o 09:01
autor: WolfusA
Nie, ale może mieć równie dobrze tylko jeden i to zakładam w założeniu nie wprost.

Re: Prosta, płaszczyzna i jeden punkt wspólny

: 23 sie 2017, o 12:45
autor: a4karo
Jak ma więcej niż jeden, to ma co najmu dwa. A jak ma dwa, to leży w płaszczyźnie.

A zapis \(\displaystyle{ k'\in\pi}\) jest niepoprawny.

Re: Prosta, płaszczyzna i jeden punkt wspólny

: 23 sie 2017, o 18:12
autor: WolfusA
Tak, taki zapis jest niepoprawny. Moja pomyłka. Już poprawiam, proszę bardzo: \(\displaystyle{ k^{'} \subset \pi}\)

Re: Prosta, płaszczyzna i jeden punkt wspólny

: 24 sie 2017, o 07:10
autor: a4karo
Oooops, moje komentarze o ilości punktów za bez sensu. Przepraszam.

Założenie nie wprost powinno brzmieć : przypuśćmy, że \(\displaystyle{ k'}\) nie leży na płaszczyźnie \(\displaystyle{ \pi}\)....